线性代数复习题及答案.doc

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1、一．填空1、三阶行列式的值为.2、已知矩阵为三阶方阵，且，则=.3、五级排列41253的逆序数为。4、若阶方阵满足，那么=.5、若，则6、设，则它们线性。7、设矩阵，则矩阵的秩。8、设，其中，则。9，设为阶方阵的一个特征值，则的一个特征值为。（其中为阶单位矩阵）10，已知矩阵的特征值为，则　　　　11，二次型的矩阵是填空题。12，设矩阵，则矩阵的秩。13,设为阶方阵的一个特征值，则的一个特征值为。（其中为阶单位矩阵）。14,设，，则15,已知三阶方阵的特征值为，则的特征值为；的特征值为；的特征值为。16,当取什么值时，向量组线性相关？二、简答

2、题1、判定矩阵是否为正定矩阵2、求矩阵的秩。3、设向量组，若线性相关，问：应满足什么关系式？4、求下列齐次线性方程组的一个基础解系和通解：5，解矩阵方程：6，设中两向量，，求其夹角。7，设向量组：.求向量组的一个极大无关组8，已知，，线性无关，证明：，，线性无关9、判定向量组，，的线性相关性.10、已知，求.11、设矩阵,求.12、设线性无关，试证明线性相关.13,设矩阵与矩阵相似,求y.14,设矩阵是正定矩阵,求的值.15,当取什么值时，向量组线性相关？三，解答题1，（8分）已知三阶矩阵的特征值为，求行列式的值.2，（12分）求齐次线性方程

3、组的全部解（用基础解系表示）3，（10分）设矩阵，试求的特征值和其中一个特征值所对应的特征向量.4，（10分）将二次型(1)化为标准型；(2)写出所用的线性变换矩阵；(3)写出该二次型的规范形．5、（10分）求向量组，，，的一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示.6、（10分）求矩阵的特征值和其中一个特征值的特征向量.7、（10分）判定实二次型是否正定.8、（10分）求非齐次线性方程组的全部解9、解矩阵方程：．10、设向量组：.求向量组的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示.11,设矩阵，试求的特征值和特征向量12、

4、将二次型(1)化为标准型；(2)写出所用的线性变换换矩阵；(3)写出该二次型的规范形13,求非齐次线性方程组的全部解（用基础解系表示）参考答案一．填空(每小题5分,共20分)1、-3。2、。3、4。4、5、6、无关7、38、9，答：.10，答：，解得11，答：。12，答：213,14,.15,：；；二、简答题（每题10分，共40分。以下各题，应写出解题步骤）1、解：因为，，，所以，是正定矩阵。2、解：。.3、解：，即。4、解：系数矩阵，对其进行初等行变换，得行阶梯形矩阵，因此，对应齐次线性方程组的一个基础解系为，通解为，其中为任意常数。5,　

5、．6，解：；；。7，==由最后一个矩阵可知：是一个极大无关组.8，证明：令即由于线性无关，上式成立必有由于系数行列式齐次线性方程组只有零解，故必有，线性无关性即得证9、解：解：，因此向量组线性无关。10、解：11、解：,=2.12，解：设有常数使得成立，整理得：由线性无关，故因为，故上面的方程组（2）有非零解，因此存在一组不全为零的数使得（1）成立，从而线性相关13,因为,所以;于是,.14,因为A正定,所以其顺序主子式全大于零;于是.得到.15,当或时，行列式，向量组线性相关。三，解答题1，（10分）解：设为的特征值,则的特征值为，得到,,

6、则2，（9分）解：系数矩阵为,对其进行初等行变换得到,对应同解方程组为,从而基础解系为,全部解为.3，（10分）解：（1）矩阵的特征多项式为，令，得矩阵的全部特征值为，。对于，解齐次线性方程组。其系数矩阵，进行行初等变换，得行阶梯形矩阵，因此方程组的一个基础解系为，属于特征值全部特征向量为，其中为任意非零常数。对于，解齐次线性方程组。其系数矩阵，进行行初等变换，得行阶梯形矩阵，因此方程组的一个基础解系为，则属于特征值全部特征向量为，其中为任意非零常数。4，（11分）解：　　　　　　　　　　　　　　　　，令　　或线性替换矩阵（即可逆线性变换矩阵

7、）为，标准形为，它就是规范形．.5、（10分）解：令，对作初等行变换化为行阶梯形矩阵,由最后一个矩阵可知：为一个极大无关组，且6、（10分）解的特征方程,得的特征值为。当时，解齐次线性方程组可得它的一个基础解系为，所以所对应的全部特征向量为，这里为任意不为零的常数当时，解齐次线性方程组可得它的一个基础解系为，所以所对应的全部特征向量为，这里为任意不为零的常数7、（8分）二次型的矩阵为，的各阶顺序主子式，，，故正定。8、（12分）解对该线性方程组的增广矩阵进行初等行变换,为,对应的方程组为,令得到该方程组的特解为,令得到其对应的齐次线性方程组的

8、基础解系为.所以原方程组的全部解为9，解：10,解:,由最后一个矩阵可知：是一个极大无关组，且,11、解：矩阵的特征多项式为，令，得矩阵的全部特征值为，（二重）。