线性代数期末复习题答案

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1、期末复习题答案一．单项选择题1、若为同阶矩阵，且，则（B）是正确的。(A)(B)(C)(D)2、已知均为阶矩阵，且，则（C）是正确的。(A)(B)与中至少有一个是零矩阵(C)与中至少有一个是奇异矩阵(D)秩或秩3、若是的矩阵，是的列向量，是非齐次线性方程组的导出组，则（C）是正确的。(A)当仅有零解时，的解唯一。(B)当的秩时，的解有无穷多个。(C)当有无穷多个解时，有非零解。(D)当无解时，也无解。4、阶矩阵与对角阵相似的充分必要的条件是（C）(A)矩阵有个不同的特征值(B)矩阵有个不同的特征向量(C)矩阵有个线性无关的特征向量(D)的行列式与

2、一个对角矩阵的行列式相等5、设是一个实对称矩阵，如果（A），则不一定是正定矩阵。(A)的秩(B)的正惯性指数等于(C)的个顺序主子式均为正数(D)合同于阶单位阵6、行列式的值=（C）(A)(B)96(C)12(D)7、设分别为的矩阵，则下列各式中有意义的是（B）(A)(B)(C)(D)8、若是的矩阵，是的列向量，的秩为，则非齐次线性方程组满足（C）条件时一定有解。(A)(B)(C)(D)增广矩阵的秩9、矩阵与下面的对角矩阵（C）相似。(A)(B)(C)(D)10、二次型的矩阵为（C）(A)(B)(C)(D)11、设矩阵，则与合同的矩阵是（A）（A

3、）(B)(C)(D)12、下列矩阵中是正定矩阵的是（D）（A）(B)(C)(D)13设为阶方阵，且，则（B）(A)中必有两行（列）的元素对应成比例；(B)中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合；(C)中任意一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合；(D)中至少有一行（列）的元素全为0.14.设是方程组的解,是导出组的解,则是(C)的解.(A)(B)(C)(D)二.填空题1、行列式中元素的代数余子式=____________。2、若均为5阶矩阵，且，则____________。3、设____________。4、已知矩阵，则的逆。5

4、、已知三维向量组线性无关，则____________。6、已知为的矩阵，且的秩，如果是非齐次线性方程组的两个不同的解向量，则该方程组的全部解为___________为任意常数________________。7、若非齐次线性方程组无解，则常数____________。8、已知都是三阶矩阵，且则____________。9、向量，向量，若与正交，则___________。10、设二次型的秩为3，又负惯性指数为2，则二次型的规范形为___________________。11、四阶行列式的第四列的元素依次为4、0、3和，它们对应的余

5、子式分别为、7、0和9，则该行列式的值为_______________。12、若的秩为，则_____________。13、若为5阶矩阵，且，则_______________。14、若及满足关系，其中，则__________。15、向量组的秩__________。（注意含参数的）16、已知向量组线性相关，则__________。17、已知为的矩阵，如果的秩，则齐次线性方程组的基础解系中含有_____个解向量。（注意一般的情形）18、若非齐次线性方程组的解是唯一的，则常数____且______。19、已知都是三阶矩阵，且，的特征值为，则______

6、____。20、二次型的矩阵合同于矩阵，则二次型的规范形为__________。三计算题1、计算行列式。解：由于各行元素和相等，故将每一列都加到第一列，得2、（提示：化上三角形行列式）2、设矩阵和满足关系式，且，为三阶单位阵，求矩阵。解：由题可得，由于，故可逆，从而由，得,从而。3、求向量组的一个极大无关组，并把其余的向量用这个极大无关组线性表示出来。解：故是该向量组的一个极大无关组，且，。4、试问取何值时，非齐次线性方程组有解？并在有解的情况下，求出该方程组的全部解（用基础解系表示全部解）。解：，当时，即时，方程组有解，且有无穷多组解，当时，进

7、一步有，对应的方程组为，即，特解为，对应的导出组为，导出组的基础解系为，，从而方程组的全部解为为任意常数。5、已知矩阵，试问是否与对角阵相似？如果能与对角阵相似，请求出这个对角阵和一个非奇异矩阵，使。解:因为A为对称矩阵，所以A可以和对角矩阵相似，，所以的特征值为，当时，带入，得即由，对应的方程组为，即，基础解系为当时，带入，得即由，对应的方程组为，即，基础解系为令，，则。6、将二次型化为标准形；并写出所用的线性变换及其中的矩阵。解:二次型令二次型化为就是二次型的标准形，所作的非退化的线性变换为，即线性变换的矩阵注：二次型化标准形当不指定方法时，

8、最好用配方法处理。用正交变换法有一个难点就是求特征值。当特征值不好求时，尽量避免去求特征值。四,简述题1、“若阶矩阵与均可逆，则”对不对