最新线性代数 复习题及 答案PPT课件.ppt

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1、线性代数复习题及答案问题1常用的计算行列式的方法有哪些？习题一1.已知四阶行列式D的第二行元素依次是2，-1，3，5，各个元素对应的余子式的值依次是1，-3，4，2。求行列式D的值。2.计算行列式3.计算行列式试把第3题的算法和结论推广至n阶行列式。4.计算提取公因子，化为上三角行列式综上，行列式推广到n阶行列式：n阶行列式的值4.解：用行列式性质，化为下三角行列式从第二行起，分别提取非零数再把第二行的倍、第三行的倍、第四行的倍加到第一行对应元素上，使得第一行的元素依次是由此得到一个下三角行列式，所

2、以行列式的值是熟悉“箭形”行列式的一般算法问题2方阵可逆的定义是什么？试写出几个方阵可逆的充分必要条件。之间有怎样的关系？习题二1.求下列方阵的逆矩阵。（1）（2）（3）2.已知四阶方阵A的行列式，是A的伴随矩阵。计算：（1）（2）（3）解答n阶方阵A可逆的定义：若n阶方阵A与B满足，则称方阵A可逆，称B为A的逆矩阵，亦记A的逆矩阵为。同理，方阵B也可逆，有方阵可逆的充分必要条件有：方阵A可逆方阵A可逆方阵A可逆A的n个列（行）形成的n个列（行）向量线性无关方阵A可逆A的n个特征值都不等于0之间的关系是习

3、题二1.（1）（2）逆矩阵是（3）用行初等变换由（继续）（下一页）（继续）得到2.解（1）（2）（3）问题3试叙述向量线性相关、线性无关的定义。若已知则下列说法哪一个是正确的？（1）线性无关（2）线性相关（3）线性无关（4）线性相关习题三1.设向量组A：求向量组的秩和一个最大线性无关组，并用无关组中向量表示A中其余向量。2已知向量线性无关，证明：线性相关。解答向量线性相关、线性无关的定义：若存在不全为零的数使得则称向量线性相关；否则，称线性无关。即：当且仅当时，有则称向量线性无关。哪一个说法正确？（1）错

4、若，则是零向量（2）错若，则是非零向量（3）正确是（一个）非零向量（4）错是非零向量注意：用定义判断！习题三1.解令矩阵对A作行初等变换：因为，所以向量组的秩是2，是一个最大线性无关组；对以上最后一个矩阵继续行初等变换，化为最简形矩阵：（即解方程）即用表示，有2.证明：令即因为线性无关，所以由得到齐次线性方程组有非零解，即存在不全为零的使得亦即线性相关。问题4线性方程组，其中有解的充分必要条件是什么？有解的情形什么条件下解是唯一的？什么条件下解有无穷多个？有无穷多个解时，解的结构是怎样的？习题四1.设解线

5、性方程组（1）此线性方程组是否有解？（说明理由）（2）写出这个线性方程组对应的齐次线性方程组的基础解系；（3）求此非齐次线性方程组的通解。2.已知是四元非齐次线性方程组，是的三个解，且求的通解。分析因为，所以对应的四元齐次方程组的基础解系中有一个解向量。已知一个非齐次方程组的解，再要找齐次方程组的一个非零解。解答非齐次线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即若，则有唯一解；若，则有无穷解；若，则无解。若，则对应的齐次线性方程组的基础解系有个线性无关的解向量，记作非齐次线性方程组的一个

6、特解是，则非齐次线性方程组解的结构（通解）是习题四1.解（1）写出增广矩阵，进行行初等变换。由（继续）因为，所以，此线性方程组有解；（2）因为，所以对应的齐次线性方程组的基础解系中有个解向量，由最简形矩阵得到一个解向量（基础解系）（3）非齐次线性方程组解的结构是非齐次线性方程组的通解=非齐次线性方程组的一个解（特解）+对应的齐次线性方程组的通解此方程组的一个特解是所求线性方程组的通解是2.解因为所以令，则有即是的非零解。又，所以的基础解系中解向量是的一个特解是所求的通解是问题5方阵可以化为对角矩阵的充分必

7、要条件是什么？哪些方阵必定可以化为对角矩阵？通常，化方阵为对角矩阵有哪些方法？分别适用于什么类型的方阵？解答*n阶方阵A可以化为对角矩阵的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量*对称矩阵可以化为对角矩阵*有n个互不相同的特征值的方阵可以化为对角矩阵*化方阵为对角矩阵的方法有：（1）相似变换用可逆矩阵使得；（2）合同变换对于对称矩阵A（即）用可逆矩阵使得；（3）正交变换用正交矩阵使得；（4）配方法化二次型为标准形（使二次型的矩阵为对角阵）习题51.设方阵（1）求A的特征值与特征向量；（2）A能否与对角阵相

8、似（说明理由）？（3）写出能把A化为对角阵的可逆矩阵P。2.已知两个正交的向量（1）求向量，使得与都正交；（2）把化为规范正交向量组。3.已知3阶方阵的特征值对应的特征向量依次是求方阵。习题五1.解（1）由得到A的特征值=1，由得到；=2，由得到=5，由得到（2）因为三阶方阵A有三个线性无关的特征向量，所以A能与对角阵相似。（不同特征值对应的特征向量线性无关）（3）可逆矩阵有2.解（1）设则由题设，有一个非零解是（2）把化为规