线性代数第7讲.ppt

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1、线性代数第7讲分块矩阵8/3/20211把一个5阶矩阵用水平和垂直的虚线分成4块.8/3/20212把一个mn矩阵A,在行的方向上分成s块,在列的方向分成t块,称为A的st分块矩阵,记作A=[Akl]st,其中Akt(k=1,2,...,s,l=1,2,...,t)称为A的子块,它们是各种类型的小矩阵.常用的分块矩阵,除了上面的4块矩阵,还有以下几种形式:8/3/20213按行分块8/3/20214按列分块8/3/20215当n阶矩阵C中非零元素都集中在主对角线附近,有时可以分块成对角块矩阵(准对角矩阵)其中Ci是ri阶方阵(i=1,2,...,m;r1+r2

2、+...+rm=n)8/3/20216例如8/3/20217下面讨论分块矩阵的运算1.分块矩阵的加法设分块矩阵A=[Akl]st,B=[Bkl]st,如果A与B对应的子块Akl和Bkl都是同型矩阵,则A+B=[Akl+Bkl]st例如其中A11与B11,A12与B12,A21与B21,A22与B22分别都是同型小矩阵(子块).8/3/202182.分块矩阵的数量乘法设分块矩阵A=[Akl]st,h是一个数,则hA=[hAkl]st.8/3/202193.分块矩阵的乘法设A是mn矩阵,B是np矩阵,如A分块为rs分块矩阵[Akl]rs,B分块为s

3、t分块矩阵[Bkl]st,且A的列的分块法和B的行的分块法完全相同,则8/3/202110可以证明(但略去),用分块乘法求得的AB与不分块作乘法求得的AB是相等的.8/3/202111例1将下列5阶矩阵A,B分成4块阵,并用分块矩阵的乘法计算AB.8/3/202112解由观察,可将A分成如下4块阵8/3/202113将B分块为8/3/202114则8/3/202115故8/3/202116例2设A是mn矩阵,B是ns矩阵,B按列分块成1s分块矩阵,将A看成11分块矩阵,则AB=A[B1,B2,...,Bs]=[AB1,AB2,...,ABs].若已知AB=

4、0,则显然有ABi=0,i=1,2,...,n.因此,B的每一列都是线性方程组Ax=0的解.8/3/202117例3若n阶矩阵C,D可以分块成同型对角块矩阵,即其中Ci和Di是同阶方阵(i=1,2,...,m),则8/3/202118例4证明:若n阶上三角矩阵A可逆,则其逆A-1也是上三角阵.证对n作数学归纳法,n=1时,[a]-1=[1/a],结论成立.(一阶矩阵可认为是上三角矩阵).假设命题对n-1阶可逆上三角阵成立,考虑n阶情况,设8/3/202119其中A1是n-1阶可逆的上三角阵.设A的逆矩阵为则8/3/202120于是:A1g=O=>g=A-1O=OA1B1

5、=In-1=>B1=A1-1,根据归纳假设,B1是n-1阶上三角矩阵,因此是上三角矩阵(其中b11=a11-1;b=-a11-1aA1-1).8/3/2021214.分块矩阵的转置8/3/2021225.可逆分块矩阵的逆矩阵对角块矩阵(准对角矩阵)的行列式为

6、A

7、=

8、A1

9、

10、A2

11、...

12、Am

13、,因此,对角块矩阵A可逆的充要条件为

14、Ai

15、0i=1,2,...,m,这时8/3/202123例5解

16、A

17、=

18、B

19、

20、D

21、0,A可逆.设其中X与B,T与D分别是同阶方阵,于是由8/3/202124BX=I1,故X=B-1.BY=O,故Y=B-1O=O.CX+DZ=O,故DZ=

22、-CX=-CB-1,Z=-D-1CB-1.CY+DT=I2,故DT=I2,T=D-1.所以8/3/202125例如8/3/202126则8/3/2021276.分块矩阵的初等变换与分块初等阵这里仅就22分块矩阵为例来讨论.对于分块矩阵可以同样定义它的三种初等行变换和列变换,并相应地定义三类分块初等矩阵:(i)分块倍乘阵(C1,C2是可逆阵)8/3/202128(ii)分块倍加阵(iii)分块对换阵分块初等矩阵是方阵,它们左乘(或右乘)分块矩阵A(不一定是方阵),在保证可乘的情况下,其作用与前述初等矩阵相同.8/3/202129例6设n阶矩阵A分块表示为解先对分块阵

23、A作初等变换,将其化为上三角块矩阵,为此左乘分块倍加阵其中I1,I2为单位阵,其阶数分别与A11,A22相同.8/3/202130于是8/3/202131为求A-1,将B化为对角块矩阵,为此取8/3/202132记8/3/202133例7证先用分块倍加阵左乘Q,使之化为上三角块矩阵,为此取8/3/202134如此则有8/3/202135今天作业:第98页开始58题,62题8/3/202136