线性代数第10讲.ppt

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1、线性代数第10讲线性方程组8/5/202113.4齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构8/5/20212对于以mn矩阵A为系数矩阵的齐次线性方程组AX=0(3.15)如果把A按列分块为A=[a1,a2,...,an],它就可以表示为向量等式x1a1+x2a2+...+xnan=0(3.16)因此,(3.15)有非零解的充分必要条件是a1,a2,...,an线性相关,秩(A)=秩{a1,a2,...,an}

2、的行向量,其余m-r个行向量可由这r个线性无关的行向量线性表示.因此,对A作初等行变换可将其化为有r个非零行的阶梯阵8/5/20214由UX=0与AX=0是同解方程组,以及UX=0有非零解的充要条件为r

3、A

4、=0,AX=0只有零解的充要条件可以叙述为

5、A

6、0.8/5/20215例1设A是n阶矩阵,证明:存在ns矩阵B0,使得AB=0的充要条件是

7、A

8、=0.证将B按列分块为[B1,B2,..

9、.,Bs],则AB=0等价于ABj=0,j=1,2,...,s,即B的每一列都是齐次线性方程组AX=0的解.若AB=0,B0,则AX=0有非零解,故

10、A

11、=0;反之,若

12、A

13、=0,取AX=0的s个非零解作为B的s个列,则B0,但它使得AB=0.8/5/20216定理2若X1,X2是齐次线性方程组AX=0的两个解,则k1X1+k2X2(k1,k2为任意常数)也是它的解.证因为A(k1X1+k2X2)=k1AX1+k2AX2==k10+k20=0,故k1X1+k2X2是AX=0的解.定理2的结论显然对于有限多个解也成立,即若X1,X2,...,Xr是

14、齐次线性方程组AX=0的r个解,则k1X1+k2X2+...+krXr(k1,...,kr为任意常数)也是AX=0的解.8/5/20217定义1设X1,X2,...,Xp是AX=0的解向量,如果:(1)X1,X2,...,Xp线性无关;(2)AX=0的任一个解向量可由X1,X2,...,Xp线性表示.则称X1,X2,...,Xp是AX=0的一个基础解系.如果找到了AX=0的基础解系X1,X2,...,Xp,那末k1X1+k2X2+...+kpXp对任意常数k1,k2,...,kp作成的集合,就是AX=0的全部解的解集合.8/5/20218例2求齐次线性

15、方程组AX=0的一般解,其系数矩阵为解对矩阵A作初等行变换,将其化为行简化阶梯矩阵.8/5/202198/5/2021108/5/202111UX=O即x2和x5为自由变元,令x2=k1,x5=k2,k1,k2为任意常数,则x1=-2k1-2k2,x3=k2,x4=0.8/5/202112将x1=-2k1-2k2,x2=k1,x3=k2,x4=0,x5=k2,写成向量形式:其中X1=[-2,1,0,0,0]T,X2=[-2,0,1,0,1]T构成基础解系.8/5/202113定理3设A是mn矩阵,若秩(A)=r

16、系,且基础解系含n-r个解向量.证先证存在n-r个线性无关的解向量.按高斯消元法的步骤对A作初等行变换,将A化为行简化的阶梯阵U,8/5/202114不失一般性,可设8/5/202115UX=O,即是AX=O的同解方程组,取xr+1,xr+2,...,xn为自由未知量,将它们的下列n-r组值:1,0,0,...,0;0,1,0,...,0;...;0,0,0,...,1分别代入上式可求得n个解:8/5/202116X1=[d11,d21,...,dr1,1,0,0,...,0]T,X2=[d12,d22,...,dr2,0,1,0,...,0]T,..

17、...............................Xn-r=[d1,n-r,d2,n-r,...,dr,n-r,0,0,0,...,1]T.显然,X1,X2,...,Xn-r是线性无关的.8/5/202117再证AX=0的任一个解X可由X1,X2,...,Xn-r线性表示,则我们将任意给定的这个解表示为X=[d1,d2,...,dr,k1,k2,...,kn-r]T.我们要证明这个X其实和X*=k1X1+k2X2+...+kn-rXn-r是相等的,即X=X*,也就是要证明X-X*=0,当然,X-X*也是AX=0的解,只要证明它是AX=0的零

18、解,也就证明了X-X*=0,就证明了任给的一个解能够用X1,X2,...,Xn-r线性表示,即