《线性代数第章》ppt课件

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1、1线性代数LinearAlgebra第三章矩阵2第三章矩阵矩阵将一组有序的数据视为“整体量”进行表述和运算,使得问题变得简洁、易于了解本质.已在线性方程组的讨论中运用.矩阵不仅是代数学，而且是数学中最重要的基本概念之一.它是线性代数一个主要的研究对象,且贯穿在线性代数的各个方面.矩阵的理论和方法在处理许多实际问题，特别是计算机应用上是非常有力的.问题方法理论应用3第三章矩阵一、数乘矩阵Definition1§1矩阵的基本运算数与矩阵A=(aij)的乘积，简称数乘矩阵，规定为记作求数与矩阵乘积的运算称为矩阵的数量乘积.Note:的区别——数量矩阵4第三章矩阵数乘矩阵满

2、足如下性质：(设A,B为矩阵，为数）（1）特别地称为A的负矩阵.记为–A.二、矩阵加法设有两个矩阵那么，矩阵A与B的和记作A+B规定为Definition2必须同型求两个矩阵和的运算称为矩阵的加法.Note:矩阵的加法归结为元素的加法.5§1矩阵的基本运算矩阵加法满足如下性质：（1）A+B=B+A；（2）A+(B+C)=(A+B)+C（3）A+0=0+A=A(0为与A同型的零矩阵)显然有A+(-A)=0.矩阵的减法定义为A-B=A+(-B)（4）（5）矩阵的加法与数乘矩阵，统称为矩阵的线性运算6§1矩阵的基本运算三、矩阵乘法矩阵乘法的定义是从研究n维向量的线性变换的

3、需要而规定的一种独特的乘法运算.矩阵运算中所具有的特殊的规律，主要产生于矩阵的乘法运算.Definition3设是一个矩阵，是一个矩阵，那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个矩阵，其中记为Note:（1）AB中A的列数等于B的行数；（2）矩阵C=AB的行数是A的行数，列数为B的列数，cij是A的第i行与B的第j列的对应元素乘积的和7第三章矩阵Example1设有两个线性变换若想求出从t1,t2到y1,y2的线性变换，可将(3.2)代入(3.1)即得用矩阵表示8§1矩阵的基本运算(1)可简记为9第三章矩阵Example2设，求AB.Solution:AB是一个阶矩阵.该例

4、BA没有意义-5176102-210§1矩阵的基本运算Example3设求AB、BA.Solution:()虽然AB、BA有意义，但不同型，当然不相等11第三章矩阵Example4设Solution:即使同型，也未必相等Note:（1）矩阵乘法不满足交换律，一般；（2）；（3）即消去律不成立.求AB、BA、AC.该例得到什么结论？12§1矩阵的基本运算矩阵乘法满足如下性质：（假设以下性质中的运算均可行）（1）结合律(AB)C=A(BC);Proof（2）分配律A(B+C)=AB+AC(B+C)A=BA+CA;（3）数乘结合律(k是数)对于单位矩阵E容易验证：简写成E

5、A=AE=A数量矩阵与矩阵的乘积等于数与矩阵的乘积如果方阵A与B的乘积满足交换律，即AB=BA则称A与B是可交换的.Goon13第三章矩阵矩阵乘法性质（1）的证明Proof:设则AB是矩阵，(AB)C是矩阵，BC是矩阵，A(BC)是矩阵，所以,(AB)C与A(BC)是同型矩阵.故(AB)C=A(BC)14§1矩阵的基本运算方阵的幂的定义：即就是k个A连乘.由矩阵乘法满足结合律，有(k为正整数)(k、l为正整数)又由矩阵乘法不满足交换律，一般有（左边右边）Example5设A=,求A2，A10，A11.15第三章矩阵Solution:对角阵的性质16Example6设

6、求Solution:§1矩阵的基本运算17第三章矩阵四、矩阵的转置Definition4把矩阵的行与列互换，所得到的矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记作AT.（Transpose）即AT=其中矩阵的转置也是一种运算，有如下性质：（1）(AT)T=A;（2）(A+B)T=AT+BT（3）(A)T=AT（4）(AB)T=BTATProof(4)可推广Goon18§1矩阵的基本运算(AB)T=BTAT的证明Proof:设记则AB是矩阵,(AB)T是矩阵.又BT是矩阵，AT是矩阵,则BTAT是矩阵.即(AB)T与BTAT是同型矩阵.则(AB)T的（i，j）元素是而BTAT的（i，

7、j）元素是所以，(AB)T=BTAT19第三章矩阵Example9设求.Solution:也可以20§1矩阵的基本运算Example10设B是一个矩阵，证明BTB，BBT都是对称阵.Definition5设为n阶方阵，如果满足AT=A，即则称A为对称阵.如果满足AT=-A，即则称A为反对称阵.显然，对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等,对反对称阵有Proof:是对称阵.同理可证BBT是对称阵.21第三章矩阵五、方阵的行列式Definition6由n阶方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A的行列式，记作或.Note:只是对n2个数构成的数表，