高数第11章 线性代数ppt课件.ppt

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1、线性代数课件河北机电职业技术学院第十一章线性代数第一节二、三阶行列式的概念与计算方法第二节n阶行列式的性质与运算第三节克莱姆法则高斯消元法第四节矩阵的概念及其运算第五节矩阵的初等变换与矩阵的秩第六节逆矩阵及其求法第七节一般线性方程组结的讨论第八节层次分析法本章重点：2.利用克莱姆法则解线性方程3.矩阵各种运算，矩阵的初等变换5.高斯消元法解线性方程组6.层次分析法本章难点：利用行列式的性质计算n阶行列式的方法2.用矩阵的初等变换求矩阵的秩，逆矩阵3.高斯消元法解线性方程组利用行列式的性质计算n阶行列式的方法4.层次分析法4.矩阵秩的求法，用初等变换求逆矩阵的方法第一节二、三阶行列式的概念与

2、计算方法1.引理：对于二元线性方程组解得为了便于计算，我们把记为记为因此方程组的解为记为，记为，2.定义1我们把左端称为二阶行列式，右端为它的展开式红线称为主对角线，绿线称为副对角线例1：计算二阶行列式的值。解：定义2由二阶行列式，按对角线法则，我们定义三阶行列式为：红线为主对角线，乘积为正；绿线为副对角线，乘积为负.例2：计算下列三阶行列式：（1）（2）解：（1）（2）我们在三阶行列式及其展开式中观察到：我们发现，，的余子式。分别是元素划掉它们所在行和列后，余下的元素按原来的次序构成的二阶行列式，定义为元素称为元素的代数余子式。同理，三阶行列式因此，其中是元素的代数余子式。仿此或即依此类

3、推把4阶行列式定义为：一般地，n阶行列式可以用n个n-1阶行列式来定义。定义3设有个数，构成以下阶行列式，其中都是数，记为：其中为元素的代数余子式，即此式右端称为n阶行列式的展开式。即，行列式可以按一行展开。例2计算解由行列式定义得：例3计算对角行列式（其中对角线上的元素是，未写出的数（1）解：（1）都是0。)（2）（2）由定义例4计算下三角行列式：解：由定义得重点：1.二、三阶行列式的计算2.n阶行列式的计算的定义3.三角行列式的计算方法难点：1.三阶行列式的计算2.n阶行列式的计算的定义作业：求下列行列式的值：1.2.6.5.4.3.阶行列式的性质与运算第二节行列式的计算是一个重要的问

4、题，也是一个很麻烦的问题。较大时，当是一个相当大的数字。直接从定义来计算行列式几乎是不可能的事。因此，我们有必要进一步讨论行列式的性质。利用这些性质化简行列式的计算。计算它就需要做个乘法，项，级行列式展式一共有是行列式的转置行列式。称为行列式性质1行列式与它的转置行列式相等。（证略）这个性质说明了行列式中行、列地位的对称性。行列式中有关行的性质对列也同样成立；反过来也对。由此可知：由此和行列式的定义，知：行列式可以按某列展开。证由性质1，得上、下三角行列式统称为三角行列式。三角行列式等于主对角线（从左上角到右下角的这条对角线）上各元素的乘积。例1证明：上三角行列式性质2行列式某行（列）有公

5、因子，可以提到行列式符号的外面。证明：性质3证：行列式按行展开即可。性质4互换行列式的两行（列），行列式符号改变。（证略）推论1行列式中如果有两行（列）相同，则此行列式为零。证：设所以推论2行列式中有两行（列）成比例，行列式为零。加到另一行（列）上，性质5行列式一行（列）乘以一个非零常数行列式不变。证：把右式用第行展开，再结合性质2、3即可。性质6阶行列式某一行（列）的各元素与另一行（列）相应元素的代数余子式的乘积之和等于零中，例1用降阶法计算行列式。（即按某行或列展开）注：使用行的性质用“（）”表示；使用列的性质用“[]”表示。（1）（2）解：（1）（2）例2用行列式的性质计算下列行列式

6、：（1）（2）解：(1)(2)阶行列式例3计算解：这个行列式的特点是各行（列）元素之和都是。利用这个特点，把其余的行都加到第一行上，得（第1列乘加到其余各列上）作业：用性质计算下列行列式1.2.3.4.5.本节重点、难点：利用行列式的性质计算1.降阶法2.化为三角矩阵法解题方法：第三节克莱姆法则高斯消元法定理1（克莱姆法则）如果线性方程组（1）（1）的系数行列式一、克莱姆法则则它的有唯一解：（2）中第列元素所得的行列式，其中是用（1）中常数项替换即（证略）若方程组（1）的常数项全为零，即称为齐次线性方程组。显然，齐次线性方程组总是有解的，因为就是一个解，它称为零解。对于齐次线性方程组，我们

7、关心的问题是，它除去零解以外还有没有其它解，或者说，它有没有非零解。对于方程个数与未知量个数相同的齐次线性方程组，应用克莱姆法则就有：推论：如果齐次方程组的系数矩阵的行列式，那么它只有零解，换句话说，若上述齐次方程组有非零解，那么必有。例1用克莱姆法则解线性方程组解：由于方程组的系数行列式所以例2求在什么条件下，方程组有非零解。解若方程组有非零解，那么行列式所以不难验证，当时，方程组有非零解。二、高斯消元法阶行列式，计算