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1、北京工业大学高等数学教程第0章预备知识0.1两个常用符号全称量词：“”表示“任取”,或“任意给定”.“”表示“存在”,“至少存在一个”.Any(每一个)或All(所有的)的字头A的倒写Exist(存在)的字头E的倒写存在量词：0.2邻域与去心邻域记作点称为邻域的中心,称为邻域的半径.记作也称空心邻域,称为设是两个实数,且0.3一元函数0.3.1一元函数与集合设为D实数集R的非空子集,如果对任意的都存在唯一的与之对应,可用表示,并称x为自变量,y为因变量.则称y是x的一元函数,而定义域就是自变量的取值范围,
2、分别记为因变量的取值范围,值域就是或者简记为如果用集合的记号,则一元函数可表示为集合f是的子集,这个子集在平面上的表示就是函数的图像.集合论是现代数学的基础,函数也可以从集合设A,B是两个非空集合,为A与B的直积,或笛卡尔积,称为有序对.角度进行定义.称如果f是集合A到B的一个二元关系,的任意子集都称为集合A到集合B的一个二元关系.并且都存在唯一的使得则称f是A到B的一个函数.设是一元函数,如果记之为都存在唯一的使得称为的反函数.以y为自变量.在初等数学中,约定总是以x作自变量,所以才把改写为需注意:一个
3、函数与其反函数的自变量与因变量是互换的.函数以x为自变量,而其反函数有界无界0.3.2有界函数yxoDyxoD有六个常见的有界函数:在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.0.3.3分段函数与Dirichlet函数例2狄里克莱函数例1例3符号函数xyo例4取整函数表示不超过x的最大整数.如当阶梯曲线定义域值域1.幂函数0.4基本初等函数基本初等函数可分为五大类,包括幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数.幂函数的定义域与的取值有关.特别地，2.指数函数称为自然对
4、数.特别地，记为3.对数函数定义域为值域为正弦函数4.三角函数该函数是奇函数.定义域为值域为余弦函数该函数是偶函数.定义域值域定义域值域正切函数余切函数正割函数常用三角函数公式:余割函数定义域值域反正弦函数5.反三角函数该函数是奇函数.定义域值域反余弦函数该函数非奇非偶.定义域值域反正切函数反余切函数定义域值域0.5初等函数而函数定义设函数的定义域为则称函数为x的复合函数.x是自变量,u称为中间变量,y是因变量.注意:复合函数可由两个以上的函数复合而成.的值域为若1.复合函数设种形式多层复合得到.基本初等
5、函数只有11种形式,复合函数的11种形式如下：简单的复合函数也只有11种形式,更复杂的复合函数则可以由这11其中形如的函数称为幂指函数,也是复合函数,幂指函数因复合函数的分解(复合函数拆成几个简单函数),由函数的最外层运算一层层剥到最里边,切不可漏层.剥皮法2.初等函数:由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.例如0.6函数的表示数学中表示函数的传统方式包括显函数(解析表达式)、由方程确定的隐函数、参数方程和极坐标方程.称为显函数.如果都存
6、在唯一的y,满足方程则称y是由方程确定的x的隐函数.1.参数方程通常很难或无法写出隐函数的显式表达式.例如,称为参数方程,其中t称为参数.隐函数的方程也可以用参数方程表示.例如,方程的参数方程为:解则星形线的参数方程为例5求星形线的参数方程.令2.极坐标系与极坐标方程(1)极坐标系在空间取定一点O,称为极轴,称为极点,这样就组成了极坐标系.以O为起点作射线,于是平面上的任一点P都可用一对有序数组确定：直角坐标与极坐标有如下的变换关系式(2)平面曲线的极坐标方程某些平面曲线用极坐标方程表示更为简单.例如,表
7、示以原点为圆心,以a为半径的圆.表示以原点为起点,与x轴正向夹角为的一条射线.即例6圆方程换成极坐标形式是:极坐标方程化成参数方程为例讨论方曲线的形状，并将极坐标方程转化为直角坐标系方程。解：方程两边同乘以r得到：再由可知，曲线的直角坐标方程为：0.7关于命题关于命题的有关问题,特别介绍命题的否定形式.读作非A.数学的讨论离不开命题.本节我们简单介绍一些我们用A表示一个命题，命题A的否定记为如果命题A成立时命题B一定成立题,则称由命题A可以推出命题B,记作表示由A可推出B.称B为A的必要条件.那么A也一定
8、不成立，此时称A为B的充分条件,如果AB并且B不成立，即非B可以推出非A.在数学中,我们通常只对某些概念本身而不对其否定进行描述,其否定命题可以按照确定的程式得到.这是因为,当一个命题给定后命题表示:“对D中所有的x,都有成立”,其否定为:例7证明在(0,1)无界.证分析:一个函数在(0,1)有界的定义是:显然,无界即为有界的否定,数学表示为:所以，在(0,1)无界.
