《高数极限》PPT课件.ppt

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1、第二章　极限数列的极限无穷小量与无穷大量结束函数的极限极限的运算极限存在定理两个重要极限无穷小量的比较引言微积分学乃至分析数学的基本概念之一，用于描述变量在某一变化过程中的变化趋势。完极限的朴素思想和应用可追溯到古代，中国早在2000年前就已能算出方形、圆形、圆柱等几何图形的面积和体积，3世纪刘徽创立的割圆术，就是用圆内接正多边形面积的极限是圆面积这一思想来近似计算圆周率π的。第二章极限本章学习要求：了解数列极限和函数极限的概念，在后面内容的学习中逐步加深对极限思想的理解。掌握函数极限存在与左右极限之间

2、的关系，了解函数极限的性质，了解极限存在的两个准则：夹逼准则和单调有界准则。掌握极限的四项运算法则，会用两个重要极限求极限。理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量阶的比较，会用等价无穷小量求极限。第二节函数的极限定义想想：如何从几何的角度来表示该定义？将图形对称过去后,你有什么想法?将图形对称定义现在从整体上来看这个图形,你有什么想法?你能否由此得出一个极限的定义和一个重要的定理.现在从整体上来看这个图形,你有什么想法?定义由于

3、x

4、>X>0x>X或x<X,所以,x按绝对值无限增大时,又包含了

5、x的情形.既包含了x+,定理及极限的三个定义即可证明该定理.由绝对值关系式:证成立.由极限的定义可知:例1解无限缩小,可以小于任意小的正数.因而应该有下面证明我们的猜想:证明过程怎么写？例2这里想得通吗？例2证由图容易看出：分析需要证明之处请同学们自己证一下.例2xx0时函数的极限,是描述当x无限接近x0时,函数f(x)的变化趋势.f(x)在点x0=0处有定义.函数f(x)在点x0=1处没有定义.例3定义((证这是证明吗？非常非常严格！例4证例5证？如何处理它例6这里

6、x+2

7、没有直接的有界

8、性可利用,但又必须设法去掉它.因为x1,所以,从某时候开始x应充分地接近1.()0x21111+1••••••••••分析结论证证毕例6在极限定义中：1)与和x0有关,即=(,x0).一般说来,值越小,相应的值也越小.2)不等式

9、f(x)－a

10、<既要对任意的>0,同时也要对xx0以任何方式进行都成立.3)函数f(x)以a为极限,但函数f(x)本身可以不取其极限值a.y=ay=ay=axOyx0x0x0+曲线只能从该矩形的左右两边穿过在以后的叙述中,如果函数f(x

11、)极限的某种性质与运算对任何一种极限过程均成立,则将使表示对任意一种极限过程的函数用符号三、函数极限的性质极限.函数极限的性质与数列极限的性质类似,我们只列举出来,其证明过程请同学们自己看书.2.有界性定理若limf(x)存在,则函数f(x)在该极限过程中必有界.1.唯一性定理若limf(x)存在,则极限值必唯一.3.保号性定理极限值的正负与函数值正负的关系函数值的正负与极限值正负的关系极限值的正负与函数值正负的关系该定理也称为第一保号性定理极限值正负与函数值正负关系的推论函数值的正负与极限值正负的关系

12、该定理也称为第二保号性定理第二保号性定理成立.运用反证法,设f(x)0(f(x)0)时,有a<0(a>0),则由第一保号性定理将推出f(x)<0(f(x)>0)的矛盾,该矛盾就证明了注意:当f(x)>0(f(x)<0)时,按照第二保号性定理也只能得到a0(a0)结论.考虑两个问题.((y=ay=ay=axOyx0x0+函数在x0的左边可以无定义想想这种情形下,函数有极限吗?如何描述这种情形？想想这种情形下,函数有极限吗?y=ay=ay=axOyx0x0函数在x0的右边可无定

13、义如何描述这种情形？定义定义(1)左、右极限均存在,且相等；(2)左、右极限均存在,但不相等；(3)左、右极限中至少有一个不存在.找找例题！函数在点x0处的左、右极限可能出现以下三种情况之一：y=f(x)xOy11在x=1处的左、右极限.解例7y=ay=ay=axOyx0x0+y=ay=ay=aOyx0x0对此有什么想法没有？“左右结合”定理利用0<

14、xx0

15、<

16、数且存在,则是否一定有？三、极限定义及定理小结极限定义一览表目标不等式过程描述度量极限形式极限定义一览表目标不等式过程描述度量极限形式重要定理内容小结1.函数极限的或定义及应用2.函数极限的性质:保号性定理与左右极限等价定理思考与练习1.若极限存在,2.设函数且存在,则是否一定有？练习证明:当证:欲使且而可用因此只要时故取则当时,保证.必有