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1、预备知识一、区间与邻域概念二、函数（两要素、4种特性、运算）三、基本初等函数（16个）四、初等函数：基本初等函数经过有限次四则运算和 有限次复合所构成且可有一个式子表达的函数1.幂函数2.指数函数3.对数函数4.三角函数5.反三角函数特：y=ex特：y=lnx特：y=C（常数）请参考第1节内容1注：函数的特性:1、定义域[-1，+1]2、值域：3、特性：单增、奇、有界每个基本函数掌握要点：对应规律、定义域、值域、图象、特性2第2节数列的极限一、数列极限定义二、收敛数列的性质第一章函数与极限3一、数列极限定义数列：如果按照某一法则，对每一个,对应着一个确定的实数，这些实数按照下标n
2、从小到大排列得到的一个序列就叫数列，记为.可视为一种定义域为正整数的函数；数列的两种几何表示：在直线上：在平面上：12437…56数列对应着数轴上一个点列.4播放问题:当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?5通过上面演示实验的观察:问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻画它.分析:我们用这两个数差的绝对值来表示两点的距离；用绝对值可以任意小来描述“无限接近”。直观印象:若当n无限增大时,xn无限接近于某一确定的数值a，就称当n，{xn}的极限为a.6
3、xn-a
4、要多小有多小以下说法是等价的：xn无限接近数值a点xn与点a距离要多近有多近？即：要
5、使
6、xn-a
7、，只需n>？7数列与固定常数1的距离89如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：数列极限定义:对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正整数,使得当时,不等式都成立,那么就称常数是数列的极限,或者称数列收敛于,记为或设为一数列，如果存在常数，不等式刻画了xn和a的“无限接近”，必须是可以任意小的，不能只是局限于某些个别的；与有关，通常随着的不同而变化；但对于固定的，又是不唯一的！刻画了变标的变化程度，与无关！10几何解释:.符号定义:任意给定存在冰冷的美丽和火热的思考.11数列极限的定义未给出求极限的方法.例1.证:所以,注意：12例2.已知证明证:欲使只要
8、即取则当时,就有故故也可取N与有关,但不唯一.不一定取最小的N.说明:小结:用定义证数列极限存在时,关键是任意给定寻找相应的N；但不必要求最小的N.13例3.设证明等比数列证:欲使只要即亦即因此,取,则当n>N时,就有故的极限为0.14二、收敛数列的性质1.唯一性【定理1】收敛的数列极限唯一.证：由定义,矛盾.故收敛数列极限唯一.15二、收敛数列的性质2.有界性【定理2】收敛的数列必定有界.证：由定义,注意：有界是数列收敛的必要条件.逆否命题？推论无界数列必定发散.此性质反过来不一定成立.虽有界但不收敛.16二、收敛数列的性质3.保号性【定理3】如果且(或)，那么存在正整数，当
9、时，都有(或).证明：设由数列极限的定义，对存在正整数当时有或即17二、收敛数列的性质3.保号性【推论】如果数列从某项起有 (或)，且那么(或)【定理3】如果且(或)，那么存在正整数，当时，都有(或).证明：不妨设时，用反证法若由定理3知存在N2，当时，有取当时即有矛盾.又有故必有18二、收敛数列的性质4.与子列的关系【子数列定义】在一个数列中任意抽取无限多项，并保持这些项在原数列中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列的一个子数列，简称子列.如数列 的几个子列为：一般地子列可写为：注意：是子列的第ｋ项，是原数列的第nｋ项19*********************20例4
10、二、收敛数列的性质4.与子列的关系【定理4】每个收敛数列的子数列也收敛，且极限相同。证略：逆否命题？证明：即两个子列极限不同，故原数列是发散的；21本次课小结一、数列极限:唯一性有界性定义:几何意义:二、收敛数列的性质保号性与子列的关系22作业：P301预习：§3函数的极限23*********************证:设数列是数列的任一子数列.若则当时,有现取正整数K,使于是当时,有从而有由此证明*********************24二、数列的极限25二、数列的极限26二、数列的极限27二、数列的极限28二、数列的极限29二、数列的极限30二、数列的极限31二、数列的
11、极限32二、数列的极限33二、数列的极限34二、数列的极限35二、数列的极限36二、数列的极限37内容回顾一、基本概念集合,区间,邻域,常量与变量,绝对值.二、函数的概念(注意函数的两个要素)三、函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性.四、函数的分类函数初等函数非初等函数基本初等函数(16个)复合函数(含双曲函数)38例如,趋势不定收敛发散39所以,说明:常数列的极限等于同一常数.例证：401.割圆术:如何求圆的周长？如何用圆的半径来表示圆的周长？数列的极限（问题的引入）：41
