高数§1.2 数列的极限ppt课件.ppt

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1、“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：播放——刘徽一、概念的引入正6边形的面积正12边形的面积正形的面积2、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”——《庄子·天下》将每天截后的木棒排成一列，长度组成的数列为:随n增大而减小，且无限接近于常数0.二、数列的定义如果按照某一法则,对每一nN,对应着一个确定的实数xn,则得到一个序列x1,x2,x3,,xn,,这一序列叫做数列,记为{xn},其中第n项xn叫做数列的一般项.下页数列举例:2,4,8,,2n,;1,-1,1,,(-1)n+1,.

2、x1x5x4x3x2xn数列{xn}可以看作数轴上的一个动点,它依次取数轴上的点x1,x2,x3,,xn,.数列的几何意义二、数列的定义如果按照某一法则,对每一nN,对应着一个确定的实数xn,则得到一个序列x1,x2,x3,,xn,,这一序列叫做数列,记为{xn},其中第n项xn叫做数列的一般项(通项).下页数列{xn}可以看作自变量为正整数n的函数:xn=f(n),nN.数列与函数如果按照某一法则,对每一nN,对应着一个确定的实数xn,则得到一个序列x1,x2,x3,,xn,,这一序列叫做数列,记为{xn},其中第n项xn

3、叫做数列的一般项(通项)..二、数列的定义下页播放三、数列的极限例如当n无限增大时,如果数列{xn}的一般项xn无限接近于常数a,则常数a称为数列{xn}的极限,或称数列{xn}收敛a,记为数列极限的通俗定义当n→∞,xn→a.当n→∞,

4、xn-a

5、→0.当n→∞,

6、xn-a

7、可以任意小,要多小就能有多小.当n增大到一定程度以后,

8、xn-a

9、<ε,（ε为事先给定的任意小的正数）.分析因此,如果n增大到一定程度以后,

10、xn-a

11、能小于事先给定的任意小的正数,则当n无限增大时,xn无限接近于常数a.当n无限增大时,如果数列{xn}的一般项xn无限接近于常数a,则数列{x

12、n}收敛a.下页>>>怎样用数学语言描述？数列极限的精确定义设{xn}为一数列如果存在常数a对于任意给定的正数e总存在正整数N使得当n>N时不等式

13、xna

14、

15、xna

16、.极限定义的简记形式——“–N”定义aa-ea+e()数列极限的几何意义0,NN当nN时有

17、xna

18、.下页存在NN当nN时点xn全都落在邻域

19、(a-e,a+e)内:任意给定a的e邻域(a-e,a+e),分析:p26例1证明下页0,NN当nN时有

20、xna

21、.p27例2分析:证明0,NN当nN时有

22、xna

23、.小结:用定义证数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.分析:p27例3设

24、q

25、<1,证明等比数列1,q,q2,,qn-1,的极限是0.对于0,要使

26、xn-0

27、=

28、qn-1-0

29、=

30、q

31、n-1log

32、q

33、e+1就可以了.

34、qn-1-0

35、=

36、q

37、n-1

38、q

39、e

40、+1]N0,NN当nN时有

41、xna

42、.①图示:②N与的关系:例如0,NN当nN时有

43、xna

44、.的任意小性，N的存在性，且N=N()不是唯一的，一般越小，N越大.下页注：四、收敛数列的性质定理1(极限的唯一性)如果数列{xn}收敛那么它的极限唯一使当n>N时,同时有因此同时有这是不可能的.所以只能有a=b.证明下页注:如果M0,使对nN有

45、xn

46、M,则称数列{xn}是有界的;如果这样的正数M不存在,就说数列{xn}是无界的四、收敛数列的性质定理1(极限的唯一性)如果数列{xn}收敛那么它

47、的极限唯一定理2(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛那么数列{xn}一定有界>>>例如,有界无界几何意义：数轴上对应于有界数列的点都落在闭区间[−M，M]上.下页P28例4证由定义,区间长度为1.不可能同时位于长度为1的区间内.下页2如果数列{xn}收敛,那么数列{xn}一定有界发散的数列是否一定无界?有界的数列是否收敛?P291数列1,1,1,1,,(1)n-1,的有界性与收敛如何？讨论下页定理1(极限的唯一性)如果数列{xn}收敛那么它的极限唯一定理2(收敛数列的有界性)如果数列{xn