线性代数 第5章方程组PPT课件.ppt

《线性代数 第5章方程组PPT课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、§2线性方程组解的结构(2)n元非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件为系数矩阵A与增广矩阵B=(Ab)的秩相等,且当R(A)=R(B)=n有唯一解;当R(A)=R(B)

2、的解,k为数,则x=k1也是Ax=0的解.上述性质表明,Ax=0只要有非零解,它就有无穷解,(3)若x=1,x=2,.…x=n为Ax=0的解,则x=c11+c22+…+cnn也是Ax=0的解回答是肯定的，下面引入基础解系的概念.那么,该方程组的解能否由有限个解的线性组合表示？二、基础解系及其求法1.基础解系的定义则称向量组1,2,···,t为Ax=0的一组基础解系.齐次线性方程组Ax=0的解1,2,···,t若满足(1)1,2,···,t线性无关;(2)Ax=0的任一解都可由1,2,···,t线性表出.若向量组1,2,···,t为Ax=0

3、的一组基础解系,那么Ax=0的通解可表示为:x=k11+k22+···+ktt(k1,k2,···,kt)2.线性方程组基础解系的求法设方程组Ax=0的系数矩阵A可化为:则Ax=0定理:n元齐次线性方程组Amnx=0,当系数矩阵的秩R(A)=r

4、数矩阵A作初等行变换,变为行最简矩阵,得即得基础解系:并由此得通解:例2:解线性方程组解:对系数矩阵A施行初等行变换:所以原方程组的一个基础解系为:故原方程组的通解为:x=k11+k22+k33,其中k1,k2,k3R.例3:设AmnBnl=Oml,证明R(A)+R(B)n.证明:设B=(b1,b2,···,bl),则AB=A(b1,b2,···,bl)=(0,0,···,0)=Oml,即Abi=0(i=1,2,···,l),即B的每个列向量都是以A为系数矩阵的齐次线性方程组Ax=0的解向量.R(B)=R(b1,b2,···,bl)n–R(A).R(A)+R(B

5、)n.而方程组Ax=0的解向量组的秩为n–R(A),于是,故三、非齐次线性方程组解的结构1.非齐次线性方程组解的性质(1)设x=1及x=2都是方程组Ax=b的解,则x=1–2为对应齐次方程组Ax=0的解.(2)设x=是方程组Ax=b的解,x=是方程组Ax=0的解,则x=+仍为方程组Ax=b的解.2.非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组Ax=b的通解为:x=k11+k22+···+kn-rn-r+*.其中k11+k22+···+kn-rn-r为对应齐次线性方程组Ax=0的通解,*为非齐次线性方程组Ax=b的一个特解.可见R(A)=R(B)=2,故方

6、程组有无穷解,并有取x2=x4=0,则x1=x3=得方程组的特解例4:求解方程组解:对增广矩阵B施行初等行变换:取即得对应的齐次线性方程组的基础解系为:于是所求通解为:在对应的齐次线性方程组中,例5:求解方程组解:对增广矩阵B施行初等行变换:可见R(A)=R(B)=2,故方程组有无穷多解,并且原方程组等价于方程组求基础解系令得基础解系:求特解所以方程组的通解为:即得方程组的特解取x3=x4=x5=0,其中k1,k2,k3R.例6:讨论线性方程组当p,q取何值时,方程组无解?有唯一解?有无穷多解?在方程组有无穷多解的情况下,求出一般解.解:(1)当p2时,R(A)=R(B)=4,

7、方程组有唯一解.(2)当p=2时,有1)当q1时,R(A)=3