线性代数方程组的数值解法课件.ppt

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1、第三章线性代数方程组的数值解法3.1引言3.2解线性方程组的消去法3.3解线性方程组的矩阵分解法3.4解线性方程组的迭代法3.1引言给定一个线性方程组求解向量x。第一类是直接法。即按求精确解的方法运算求解。第二类是迭代法。其思想是首先把线性方程组(3-1)等价变换为如下形式的方程组：数值解法主要有两大类：然后构造迭代格式这称为一阶定常迭代格式，M称为迭代矩阵。3.2解线性方程组的消去法3.2.1高斯消去法与高斯若当消去法例1第一步：先将方程（1）中未知数的系数2除（1）的两边，得到下列方程组：再将第二个

2、方程减去第一个方程的4倍，第三个方程减去第一个方程的2倍。第二步：将方程中第二个方程的两边除以的系数4将第三个方程减去第二个方程：第三步：为了一致期见，将第三个方程中的系数变为1，除以我们来分析一下上述过程：整个过程分两大步。一是用逐次消去未知数的方法，把原来的方程组化为与其等价的三角形方程组。用矩阵的观点来看，就是用初等变换的方法将方程组的系数矩阵进行初等变换，即这样就将系数阵化为单位三角阵，这个过程称为“消元过程”。二是解三角形方程组，称为“回代过程”，整个过程称为“有回代过程的顺序消元法”。下面我

3、们来讨论一般的解n阶方程组的高斯消去法，且就矩阵的形式来介绍这种新的过程：一般地，第k步：即将矩阵变为如下第n步：得到：经过上述n步过程后，原系数矩阵A变为一个单位上三角矩阵，即原方程组化为一个和它完全等价的三角形方程组，即高斯消去法：（1）消元过程：对k=1,2,…,n依次计算(2)回代过程：例3.1试用高斯消去法求解线性方程组消元过程为解即把原方程组等价约化为据之回代解得为了避免回代的计算，我们可在消元过程中直接把系数矩阵A约化为单位矩阵I，从而得到解，即相应地，计算公式可表述为：从而得到解这一无回

4、代的消去法称为高斯-若当（Jordan）消去法二、高斯-若当（Jordan）消去法解例2试用高斯-若当消去法求解例3.1的线性方程组。因为解一般公式：高斯约当消去法是一个具有消去过程而无回代过程的算法。以上两种消去法都是沿系数矩阵的主对角线元素进行的，即第k次消元是用经过前k-1次消元之后的系数阵位于（k,k)位置的元素作除数，这时的(k,k)位置上的元素可能为0或非常小，这就可能引起过程中断或溢出停机。因此：3.2.2消去法的可行性和计算工作量定理3.1如果的各阶顺序主子式均不为零，即有即消去法可行。

5、推论若系数矩阵严格对角占优，即有定理3.2求解n阶线性方程组(3-1)的高斯消去法的乘除工作量约为，加减工作量约为；而高斯-若当消去法的乘除工作量约为，加减工作量约为。所以，消元过程的总工作量为由式（3-4）知，高斯消去法在消元过程中第k步的工作量为证回代过程中的乘除和加减工作量均为总工作量为类似可得，高斯-若当消去法的工作量为例3.3试用高斯-若当消去法求解如下矩阵方程因为解$2选主元素的消去法主元素的选取通常采用两种方法，一种是全主元消去法,另一种是列主元消去法。下面以例介绍选主元的算法思想例3.4

6、试用选主元消去法解线性方程组（1）用全主元高斯消去法回代解出：还原得：解（2）用全主元高斯-若当消去法故得解为（3）用列主元高斯消去法回代解得3.3解线性方程组的矩阵分解法一、非对称矩阵的三角分解法对于给定的线性方程组矩阵分解法的基本思想是：（1）分解可逆下三角矩阵可逆上三角矩阵显见S是一个可逆的下三角阵——解两个三角形方程组。Crout分解（以四阶为例）2.利用三角分解法解方程组例1.试用克洛特分解法解线性方程组例2试用克洛特分解法解线性方程组解3.3.2解三对角型线性方程组的追赶法1.用LU分解矩阵

7、A3.3.3对称正定矩阵的三角分解定义3.1若n阶方矩阵A具有性质且对任何n维向量成立，则称A为对称正定矩阵。定理3.4若A为对称正定矩阵，则(1)A的k阶顺序主子式(2)有且仅有一个单位下三角矩阵L和对角矩阵D使得（3-16）这称为矩阵的乔里斯基（Cholesky）分解。(3)有且仅有一个下三角矩阵，使（3-17）这称为分解矩阵的平方根法。（1）首先由A对称正定知且对任何k维非零向量故为k阶对称正定矩阵，所以由惟一性得证以下推导平方根法和乔里斯基分解法的计算公式。由此可建立平方根法的递推计算公式如下：

8、类似地，由得从而可建立乔里斯基分解法的递推计算公式为对于依次计算例3.7试分别用平方根法和乔里斯基分解法分解矩阵(1)解把平方根法应用于解方程组，则把Ax=b化为等价方程相应的求解公式为把乔里斯基分解法应用于解方程组，则Ax=b化为等价方程相应的求解公式为例3.8试用平方根法求解对称线性方程组解由此，可先由上三角形线性方程组再由下三角形线性方程组例3.9试用乔里斯基分解法解线性方程组解3.4解线性方程组的迭代法3.4.1雅可比迭代法与高斯-