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1、第2章线性代数方程组第2章线性代数方程组线性代数方程组可以写为矩阵形式其中第2章线性代数方程组求解方法方法1计算量为矩阵求逆矩阵求逆的方法:初等行变换法、伴随矩阵法、高斯约当法第2章线性代数方程组求解方法方法2Crammer法则第2章线性代数方程组求解方法方法2Crammer法则第2章线性代数方程组2.1Gauss消去法2.1.1消去法消去法的过程1.将n元方程组的n-1个方程通过“消元”，形成一个与原方程组等价的新方程组2.继续将n-1个方程通过“消元”形成与之等价的新方程组3.直到最后一个方程为一元一次方程为止4.从最后一个方程中解
2、出最后一个未知量，然后回代得到其它的解第2章线性代数方程组2.1Gauss消去法2.1.1消去法消去法的基本思想:将求解n元方程组的问题通过降维,变为等价的n-1元方程组进行求解，逐次进行直至变为一个一元一次方程为止，然后求解，再逐步回代得到其余的解消去法的基本步骤：消去、回代第2章线性代数方程组2.1Gauss消去法2.1.1消去法消去过程对于以下的增广矩阵第2章线性代数方程组2.1Gauss消去法2.1.1消去法依此类推，消去的第k步，得到矩阵第2章线性代数方程组2.1Gauss消去法2.1.1消去法经过n-1步消去后，得到然后，经
3、过回代，得到所有的解第2章线性代数方程组2.1Gauss消去法2.1.2算法组织算法Gauss(A,b,n,x)系数矩阵A存放于数组A中，右端向量放在数组b中N-1次N-k次N-k次N-1次N-k次第2章线性代数方程组2.1Gauss消去法时间复杂度分析1.消去算法运算量2.回代运算量第2章线性代数方程组2.1Gauss消去法空间复杂度分析例2-1：解线性方程组解:第1次消元:按前述Gauss消去法计算,将第2方程--第1方程,将第3方程--第1方程,得第2次消元:计算,将第3方程--第2方程,得回代可得:利用线性方程组的矩阵形式,可将
4、Gauss消去的过程更清晰:将线性方程组写成增广矩阵形式,并将写入,由此;类似,第2章线性代数方程组2.1Gauss消去法2.1.3主元Gauss消去法可以顺利执行的条件若在Gauss消去过程中出现以下两种情况则Gauss消去过程中会出现问题第2章线性代数方程组2.1Gauss消去法2.1.3主元第1种情况下(1)若A非奇，则可以通过交换方程组中各方程的行序,可以继续执行消去过程(2)若A奇异，则不能继续执行消去过程第2章线性代数方程组2.1Gauss消去法2.1.3主元第2种情况下真实解为按Gauss消去法为第2章线性代数方程组2.1
5、Gauss消去法2.1.3主元原因则同理若有误差克服方法,将按绝对值最大的元素交换到主元位置,使从而前步的误差不再被放大。-----------选列主元消去法第2章线性代数方程组2.1Gauss消去法2.1.3主元列主元Gauss消去法若A非奇则可以通过选主元的方式继续执行消去过程第2章线性代数方程组2.1Gauss消去法2.1.3主元算法GaussPP(A,b,n,x)列主元消去法第2章线性代数方程组列主元消去法的特点：2.1Gauss消去法2.1.3主元当系数矩阵的行列式不为0时，算法总可以执行完成算法稳定，在消去过程中计算误差能被
6、有效控制；当矩阵A是对称正定或严格对角占优，则不选主元，Gauss消去法也是稳定的Gauss消去法的矩阵意义回顾例2-1:可得:此处:单位下三角矩阵L:对角元=1,第k个对角元下的元素是第k步消去过程对应的,上三角矩阵U:Gauss消去最后形成的矩阵(若是原方程组的增广矩阵,则为U的增广矩阵).若采用Gauss消去法计算，则解为？若采用列主元Gauss消去法计算，则解为？Gauss消去法的矩阵意义：上述例2-1中,第1步消元:等价于矩阵乘法:第2步消元：等价于矩阵乘法:第2章线性代数方程组2.2矩阵分解2.2.1Gauss消去法的矩阵意
7、义第一步消去等价于用一个初等下三角阵左乘方程组的两端第2章线性代数方程组2.2矩阵分解2.2.1Gauss消去法的矩阵意义第2章线性代数方程组2.2矩阵分解2.2.1Gauss消去法的矩阵意义第2章线性代数方程组2.2矩阵分解2.2.1Gauss消去法的矩阵意义第2章线性代数方程组2.2矩阵分解2.2.2矩阵的LU分解第2章线性代数方程组2.2矩阵分解2.2.2矩阵的LU分解由此定理可以得到L和U的计算公式第2章线性代数方程组2.2矩阵分解2.2.2矩阵的LU分解第2章线性代数方程组2.2矩阵分解2.2.2矩阵的LU分解第2章线性代数方
8、程组2.2矩阵分解2.2.2矩阵的LU分解在迭代过程中，为节省存储空间，可以将每个系数存储在矩阵中第2章线性代数方程组2.2矩阵分解2.2.3其它的三角分解第2章线性代数方程组2.2矩阵分解2.2.3其它的
