线性代数方程组.ppt

《线性代数方程组.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第三章线性代数方程组第一节矩阵的秩第二节线性代数方程组的解第三节向量的线性相关与线性无关第四节线性方程组的结构第一节矩阵的秩3.1.1矩阵的秩的概念3.1.2秩的计算返回3.1.1矩阵的秩的概念定义1对于m×n矩阵A，称其一切非退化方子矩阵的最高阶数k为A的秩(rank)，记作r(A)，并规定r(0)=0.例1求下面矩阵的秩：因为矩阵没有4阶子式，则r(A)<4;矩阵A的第1、2行是对应成比例的，而A的任一个3阶只是必然同时含有A的第1和第2行的部分，按行列式的性质知A的任一3阶子式皆等于零，故r(A)<3；并且有2阶子式

2、所以r(A)=2.矩阵的秩的一些相关性质若发现A有一个非零k阶子式，则必有r(A)≤k.而在r(A)=k时，表明A又非零的k阶子式，但并不说明A的k阶子式均不为零，然而可以断定一切高于k阶(如果存在的话)的子式必为零.若A是m×n矩阵，则必有r(A)≤min(m,n)r(A)=r(A')当且仅当A是零矩阵时，r(A)=0.若A是n阶矩阵，则r(A)≤n，当且仅当det(A)≠0时，r(A)=n，故也将行列式不为零的矩阵（非退化矩阵）称为满秩阵，并称退化阵为降秩阵.返回3.1.2矩阵秩的计算定义2称满足以下两个条件的m×n矩阵

3、为梯矩阵：1.第k+1行的首非零元（如果有的话）前的零元个数大于第k行的这种零元个数(k=1,2,…,m-1).2.如果某行没有非零元，则其下所有行的元全为零.行最简形式一个矩阵的非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其它元素都为0.例2对A进行行初等变换化为行最简形式B：解：定理1任一m×n矩阵A经有限次行初等变换后秩不变.推论1任一m×n矩阵A经有限次列初等变换后秩不变.推论2设A是任一m×n矩阵，而B是m（或n）阶满秩阵，则必有r(BA)=r(AB)=r(A).推论3若已知任一m×n矩阵A的标准形分解A=PNQ

4、其中N=，则必有r(A)=r（即为单位阵的阶数）.定理2任一m×n矩阵A必可通过有限次行初等变换而化成梯矩阵.例3对矩阵用行初等变换法将其化成梯矩阵.解：根据定理1，从最后的梯矩阵B可以看出矩阵A的秩，即r(A)=r(B)=3.计算矩阵的秩的方法：求一个与A等价的梯矩阵，然后数出该梯矩阵的非零行的行数而观察得到r(A).返回第二节线性代数方程组的解3.2.1齐次与非齐次线性方程组相容性的判定定理3.2.2齐次与非齐次线性方程组求解步骤与举例返回3.2.1齐次与非齐次线性方程组相容性的判定定理定理3n元线性方程组Ax=b（1

5、）无解的充要条件是r(A)＜r(Ã)；（2）有惟一解的充要条件是r(A)=r(Ã)=n；（3）有无限多解的充要条件是r(A)=r(Ã)＜n.返回3.2.2齐次与非齐次线性方程组的求解步骤与举例1.对于非齐次线形方程组，把它的增广矩阵Ã化成阶梯形，从Ã的行阶梯形可同时看出r(A)和r(Ã).若r(A)＜r(Ã)，则方程组无解.2.若r(A)=r(Ã)，则进一步把Ã化成行最简形式.而对于齐次线性方程组，则把系数矩阵A化成行最简形式.3.设r(A)=r(Ã)=r，把行最简形式中r个非零首元所对应的非零元对应的未知数取作非自由未知

6、量，其中n-r个未知量取作自由未知量，并令自由未知量分别等于，由Ã（或A）的行最简形式，即可写出含n-r个参数的通解.例1求解非齐次线性方程组解：对增广矩阵Ã实行行初等变换，即得亦即通解为定理4（1）线性方程组Ax=b有解的充要条件是r(A)=r(A

7、b)；（2）n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是r(A)＜n.返回第三节向量的线性相关与线性无关3.3.1概念3.3.2性质3.3.3向量组的秩3.3.4矩阵的行秩与列秩返回3.3.1向量的线性相关与线性无关的概念定义3对给定的一组k个向量，若存在不全为零的数，使成

8、立称这k个向量（或该向量组）是线性相关的；相反，当且仅当时上式才成立，则称它们是线性无关的.例1已知向量线性无关，而试证向量亦线性无关.解：从定义出发，考察由于成为由线性无关，可推出对这个齐次方程组，因系数行列式可推出必有，故亦线性无关.返回3.3.2性质定理5向量组线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可依其余向量线性表示（k≥2）.定理6若已知向量线性无关，而加上向量后，向量，成线性相关，则向量必可由线性表出，且表出式是惟一确定的.性质1对一组给定向量，若将其每个向量都删去若干具有相同序号的分量，形成一组“截短”向量，则

9、当线性无关时，原向量必线性无关.性质2一组线性无关向量的任一部分组必线性无关.性质3给定一组向量，若对其每个向量，都添加、插入若干同序号的分量，形成一组“加长”向量线性相关时，原向量必线性相关.性质4具有线性相关部分向量组的任一组向量必是线性相关的.性质5含有零向量的任一组向量必是线性相关