线性代数居余马第3章 线性方程组ppt课件.ppt

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1、第3章线性方程组3.1n维向量及其线性相关性3.1n维向量及其线性相关性如果ai(i=1,2,,n)是实(复)数叫做实(复)向量。行向量是1n矩阵,记作(a1,a2,,an)；列向量是n1矩阵,记作(a1,a2,,an)T。如果n个分量全为零，叫做零向量，用0表示。全体n元实向量组成的集合记作Rn。常用,,等表示n元向量。1．n元向量的概念定义3.1由n个数a1,a2,,an组成的有序数组称为n元向量,记作(a1,a2,,an)，其中ai称为第i个分量。2．向量的线性运算(2)与之和:+=(a1+b1,a2+

2、b2,,an+bn)。k=1时，=(a1,a2,,an)=+()加法满足4条运算律：(1)+=+；(2)(+)+=+(+)；有+0n=；有(),使+()=0n。定义3.2设=(a1,a2,,an)Fn,=(b1,b2,,bn)Fn,F。(3)数与之乘积:=(a1,a2,,an)，简称数乘。向量的加法与数量乘法统称为向量的线性运算，其运算规律与矩阵的相同(1)=当且仅当ai=bi，i=1,2,,n。F为数域=11+22+…

3、+mm,Fn,,F有：1=；数乘满足4条运算律：其他:(1)有0=0n;k0n=0n。()=()；(+)=+；(2)若k=0n，则=0n或k=0。(3)向量方程+x=有唯一解:x=定义3.3数域F上的全体n元向量，在其中定义了上述的加法和数乘运算,称为数域F上的n维向量空间，记作Fn(Rn为实空间)。称为向量1,2,…,m的线性组合，或可用{1,2,…,m}线性表示。矩阵A=[1,2,…,m]，x=[1,2,…,n]T。定义3.4设iFn

4、,iF(i=1,2,…,m),则向量=11+22+…+mm(1)(1)式可表示为：Ax=，此时，1,2,…,m,为列向量，(+)=+。例如，在R3中，任一向量=(a1,a2,a3)可由基本向量e1=(1,0,0),e2=(0,1,0),e3=(0,0,1)线性表示为=a1e1+a2e2+a3e3在R3中，如果三个向量1,2,3共面，则至少有一个向量可以由另两个向量线性表示，如图，即存在不全为0的k1，k2，k3使k11+k22+k33=0如果三个向量1,2,3不共面，则任意

5、一个向量都不能由其余两个向量线性表示，如1=a1e1，2=a2e2，3=a3e33=k11+k22231k22k11定义3.5设1,2,…,mRn,如果存在不全为零的1,2,…,mR,使成立，则称1,2,…,m线性相关，否则，线性无关。“否则”是指：不线性相关就是线性无关，“仅当1,2,…,m全为零时，才使(*)式成立”。这等价于“如果(*)式成立，则1,2,…,m必须全为零”。11+22+…+mm=0（*）11+22+…+mm=0定理3.1向量组1,2

6、,…,m(m2)线性相关的充要条件是1,2,…,m中至少有一个向量可由其余向量线性表示。证必要性：设1,2,…,m线性相关，则存在不全为零的数1,2,…,m,使得不妨设10,于是1=1122…11mm3．向量的线性相关性其中1,…,j1,1,,j+1,…,m不全为零，充分性得证。例1Rn中的e1,e2,…,en是线性无关的。其中ei=(0,…,0,1,0,…,0)是第i个分量为1(i=1,2,,…,n）其余分量全为零的向量。解：因为，由1e1+2e2+…+mem=0即(

7、1,2,…,n)=(0,0,…,0)必有1=2=…=n=0.定理3.1的等价命题：1,2,…,m(m2)线性无关的充要条件是其中任一个向量都不能由其余向量线性表示。充分性：若1,2,…,m中的一个向量可由其余向量线性表示，如j=11+…+j1j1+j+1j+1+…+mm则11+…+j11j+j+1j+1+…+mm=0注意:(1)单个向量线性相关的充分必要条件是：为零向量因为0使=0成立的充要条件是=0；(2)两个非零向量，线性相关的充分必要条件是

8、：，成比例即存在＝k或＝l。(3)R3中三个向量，，线性相关的充分必要条件是，，共面例2含零向量的任何向量组{0,1,2,…,m}都线性相关。因为1·0+01+02+…+0