线性代数居余马第6章二次型

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1、第6章二次型6.1二次型的定义和矩阵表示合同矩阵其中系数是数域F中的数，叫做数域F上的n元二次型（简称二次型）。实数域上的二次型简称实二次型。定义6.1n元变量x1,x2,,xn的二次齐次多项式如果令aji=aij(1i

2、,0)T(第i,j个分量为1,其余为0)，代入上式得aij=bij(ij)则A=B。例1设则它对应的矩阵为如果n维向量在两组基B1={1,2,,n}和B2={1,2,,n}下的坐标向量分别x=(x1,x2,,xn)T和y=(y1,y2,,yn)T又(1,2,,n)=(1,2,,n)C则x=Cyf()=xTAx=yT(CTAC)y,B=CTAC故f()在基B1和B2下对应的矩阵分别是A和B=CTAC。yT(CTAC)y是y1,y2,,yn的一个二次型。例2设向量在自然基{1,2}下的坐标x=(x1,x2)T满足

3、若做基变换，把{1,2}逆时针旋转45变成{1,2,}即则在{1,2,}下的坐标y=(y1,y2)T满足(1)(1)式用矩阵表示为(2)将(2)式x=Cy代入，得xTAx=yT(CTAC)y在{1,2}坐标系下，方程(1)化为标准方程这是一个椭圆（见右图）。x1y112Oy2x212即找矩阵C，使B=CTAC为对角阵。定义6.2对矩阵A和B,如果存在可逆矩阵C，使得B=CTAC，就称矩阵A相合(或合同)于B（记作A≃B)。矩阵的相合关系是一种等价关系，具有以下性质：(1)自反性，AMn(F),A≃A；(2)对称性，A,BMn

4、(F),若A≃B,则B≃A；(3)传递性，A,B,CMn(F),若A≃B,B≃C，则A≃C。一般二次型6.2化二次型为标准形6.2.1正交变换法二次型化为不含混合项只含平方项的二次型，这种二次型称其为标准形。化二次型为标准形共有三种方法：正交变换法，配方法和初等变换法。定理6.1（主轴定理）对于任一个n元二次型f(x1,x2,,xn)=xTAx，都存在正交变换x=Qy(Q为正交阵)，使得QTAQ=diag(1,2,,n)(定理5.12),从而xTAx=yT(QTAQ)y=1y12++nyn2其中1,,n是实对称矩阵A的n个特征值，Q的

5、n个列向量是A属于1,,n的n个标准正交的特征向量。用Schmidt正交化方法(正交化，单位化)得例１用正交变换化二次型解（见第5章第24，25页）1=1时，有线性无关的特征向量x1=(2,1,0)T,x2=(2,0,1)T。为标准型。2=10时，得取正交矩阵则T1AT=diag(1,1,10)xTAx=yT(CTAC)y=y12+y22+10y32三个特征值决定二次曲面的类型。例１的应用：在自然基{1,2,3}下，对二次曲面方程做坐标变换：在新基{1,2,3}下，二次曲面方程为y12+y22+10y32=1这是椭球面方程，椭球的三个

6、主轴长度分别为*例2将一般二次曲面方程化为标准方程（只含平方项和常数项）。(1)解将(1)式中二次项部分令x=Ty,其中x=(x,y,z)T,y=(x',y',z',)T则T1AT=diag(9,18,18)用类似例1的正交变换法化为平方和。(2)(3)取正交矩阵将(3)式代入(1)式的一次项部分，曲面方程化为图形为单叶双曲面。则xTAx=yT(TTAT)y=9x'2+18y'218z'26.2.2配方法和初等变换法化二次型为标准形化为标准形，并求所用的坐标变换x=Cy及变换矩阵C。解先按x12及含有x1的混合项配成完全平方，即例3用配方法把三元二次型在

7、x=Cy变换中，di一般不是特征值。在上式中，再对x224x2x3配成完全平方f(x1,x2,x3)=2(x1+x2x3)2+(x22x3)25x32代入上式，得二次型的标准形f(x1,x2,x3)=2y12+y225y32就是坐标变换x=Cy，式中的矩阵就是变换矩阵C。对一般的f(x1,x2,,xn)的配方法：若x12项的系数不为0，就按上例配方。如果x12项的系数为0，而x22项的系数不为0，就从x2开始配方。如果所有的二次项的系数都为0，就按下例的方法化为标准形。例4用配方法化二次型f(x1,x2,x3)=2x1x22x1x3+2x2x3为

8、标准形，并求所做的坐标变换。将(1)式