线性代数居余马第1章行列式

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1、第1章行列式二阶行列式用于解二元一次联立方程组1.1n阶行列式的定义及性质323122211211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaa三阶行列式用于解三元一次联立方程组其中,DDx,DDx,DDx332211===aabaabaabD3332323222131211=abaabaabaD3333123221131112=3323122221112113baabaabaaD=定义由n2个数aij(i,j=1,2,,n)组成的n阶行列式是一个算式其中：aij称为行列式的第

2、i行，第j列的元素;当n=1时，D＝a11当n2时,1.1.1n阶行列式的定义（递归法）D=M1j称为a1j的余子式;Mij是划去D的第i行第j列后的n1阶行列式;A1j=(-1)1+jM1j称为a1j的代数余子式。例1对角行列式，上、下三角行列式例2Dn==(1)n(n1)/2a1a2an1an=(1)n1anDn-1==(1)n+1anDn-1=(1)n1an(1)n2an1Dn-21.1.2n阶行列式的性质行列式对行和列有相同的性质(下面主要用行讲)性质1行列式D

3、的行与列依次互换，则行列式的值不变性质2行列式对任一行(或列)按下式展开，其值相等，即性质3（线性性质）推论若行列式有一行元素全为零，则行列式的值等于零（k=0）。性质4若行列式有两行元素相同，则行列式的值为0用归纳法证明：n=2成立。设命题对n-1阶行列式成立，对第i,j行相同的n阶行列式D，对第k（ki,j）行展开,得推论行列式有两行元素成比例，则行列式的值为0。性质5将行列式的某一行乘以常数加到另一行(对行列式作倍加行变换),则行列式的值不变。性质6若行列式两行对换，行列式的值反号，即证明将

4、左边第j行加到第i行；再将第i行乘(1)加到第j行。于是将上式第j行加到第i行,再提出第j行的公因子(1)，即得左边=右边性质7行列式某一行元素与另一行相应元素的代数余子式的乘积之和等于零，即证明把行列式D的第i行换成第j行=0是克罗内克(Kronecker)符号两式可合写为同理，对列展开，有计算方法：利用定义或性质例1上、下三角行列式均等于其主对角元素的乘积例2=2(3/2)=31.2n阶行列式的计算例3第3列乘4加到第1列对第1行展开第1行化为只有一个非0元将第3列乘1加到第1列再将

5、第3列乘2加到第2列对第3行展开例4证明：把左端行列式的第2,3列加到第1列，提出公因子2证法1将第2,3列加到第1列提出第2,3列的公因数(1)再作两次列对换把第1列乘(1)加到第2,3列证法2用性质3，将左式表示成23个行列式之和(n阶可以表示成2n个)。=右式对换2次拆成8个，其中有6个行列式各有两列相等而等于零例5计算n阶行列式Dn的每行元素之和均为a+(n1)b把各列加到第1列提出公因子a+(n1)b将第1行乘(1)加到其余各行，化为上三角行列式解例6设xyz0,计算将第2列乘

6、(x/y)，第3列乘(x/z)都加到第1列解法1第1行乘(1)加到第2,3行上三角行列式解法2拆项法得D=yz+2xz+3xy+xyz将D表示成23个行列式之和（拆第1列）拆第2，3列，除去有两列成比例而等于零的zyxyxzxzy000000300303020020020101001+++=例7解例8证明n阶范德蒙(Vandermonde)行列式(ij时，xixj)证明用数学归纳法.n=2成立假设对n-1阶命题成立从第n行起,依次将前一行乘(x1)加到后一行对第1列展开提出公因子是x2,,

7、xn的n1阶范德蒙行列式，由归纳假设得例9ABCABkkmm证明：证明对k归纳。k=1,对第1行展开假设A为k1阶时命题成立。若A为k阶,按第1行展开。归纳假设BA=将A和C所在的每一列依次与其前面的m列逐列对换(共对换km次)。例9可以简记为第1列乘(1)分别加到第2,3,4列例10解再将第2列加到第4列05712222=+-=-++--=)())((xxxxx例11计算n阶三对角行列式解对Dn的第1行展开,再将第2项中行列式对第1列展开（递推公式）反复利用递推公式11--=-

8、=nnnnnlkDDDDD记îíì==+-=----bcklalkkDDlkDDnnnn其中改写为：)(2112222DD--===nnllLnnnnnnnnlkDDllkDD+===-=---1221DD反复利用递推公式Dn=kDn1+lnDn1=kDn2+ln1Dn2=kDn3+ln2D2=kD1+l2kk2kn-2+)Dn=ln+kln1+k2ln2++kn2l2+kn1l+knD1=a=l+kkn-1D1=kn1l+kn1