居余马线性代数课后详细答案

《居余马线性代数课后详细答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、公式：解：11、12、该行列式中各行元素之和均为10，所以吧第2，3，4列加到第1列，然后再把第1列后三个元素化为零，再对第1列展开，即13、14、先将第1行与第5行对换，第3行与第4行对换（反号两次，其值不变）根据课本20页公式（1.21），原式15、16、17、根据课本20页公式（1.22）18、，所以19、证：20、21、22、解法1：整理得又根据范德蒙行列式有：故原式得证。解法2：分析：观察到右端的行列式是一个3阶范德蒙行列式解答：构建新的4阶范德蒙行列式：按第4行展开得：(1)其

2、中，，按范德蒙行列式结论得：(2)式子(1)和(2)对比，可得可以看出，，即，得证.23、24、25、26、27、28、29、阶范德蒙行列式的计算和阶范德蒙行列式的计算是类似的，只需将阶范德蒙行列式的换成。本题中，根据范德蒙行列式的计算公式知，原式30、观察发现，第行可提出公因子，。所以原式为阶范德蒙行列式，由公式得原式又所以，原式31、系数行列式所以，，，，32、系数行列式所以，，，，，33、因为齐次线性方程组有非零解，所以其系数行列式，即所以，34、设直线方程，由于直线过点，所以，。问题转化为求齐次线性方程组中不同时为零的满足

3、的条件。因此根据齐次线性方程组有非零解的充分必要条件：系数行列式等于0，可得35、由已知条件，得其系数行列式所以，，，，所以，补充题：36、(1)证：记.当时，左，右，左=右，等式成立。设时等式成立，即当时，所以，结论成立。(2)略.(3)由(1)中过程可得，所以(4)一般解法：37、解法1：证明由性质3，得左边=，将的第1列乘以加到第2列，再将第2列乘以加到第3列，….，将第列乘以加到第列，得所以左边==右边。解法2：注意到，按第一列展开，得依此类推38、解法1：解法2：按最后一行展开（思路类似于37题解法2）39、记，按第列展

4、开，则证法1（归纳法）：当时，右，等式成立；假设当时，等式成立，则；当时，得证。证法2（递推公式法）：①根据式①有即②根据式①有即③令，则②式化为令，则③式化为所以，所以，所以，.40、41、42、解法1：将第1行乘以-1加到其余各行，得原式=再将第2列乘以，第3列乘以，…，第n列乘以均加到第1列，得原式解法2：记所以，43、解法1：各行元素之和均为，把各列元素加到第1列，得从最后一行起，依次减前一行，得第一行乘以-1加到其它行，得再将各列加到最后一列，得44、将该行列式添一行，并加一列，使之成为n+1阶范德蒙行列式，即（1）（2

5、）由（1）式可见，将（1）式按最后一列展开，其的系数就是原行列式的值乘以-1；又由（2）式可见，的系数为.所以原行列式的值为45、证明（用数学归纳法）导数关系式⑴证明：将记作；记作.对行列式的阶数作数学归纳法证明。当时，有，，所以等式显然成立；假设(1)式对阶行列式成立，下面证明(1)式对阶也成立时，记，导数记作，则有，故⑵其中⑶又归纳假设得⑷综上得，⑵式右端=⑶式+⑷式=⑴式右端。所以对任意的阶行列式求导数都等于(1)式中的个行列式之和。46、分析：圆的标准方程为，则可设圆的一般方程为，其中。点的坐标满足该方程，则有又因为，则上

6、方程组中的未知量有非零解，其充分必要条件为系数行列式等于零，即这就是圆上动点所满足的方程。47、设平面直角坐标系中直线的一般方程为(1)三个点位于该直线上时，其点的坐标满足方程，即(2)方程(1)中的不全为零，因此关于的齐次线性方程组(2)有非零解。所以3个点位于同一直线上（即3点共线）等价于方程组(2)有非零解。由克莱姆法则知，由个方程构成的元齐次线性方程组的系数行列式不等于零时，齐次方程组只有全为零的解，这等价于齐次线性方程组有非零解时其系数行列式必须等于零，这里就是48、设平面方程为，将已知三点代入平面方程，得系数行列式，，

7、，由克莱姆法则，得，，代入平面方程中，得即49、空间直角坐标系中球面的一般方程为球面上的点的坐标应满足该方程，于是由题设即得即(1)方程组(1)的系数行列式为所以方程组(1)有惟一解，其中（第1，3行相同）（第1，2行相同）于是即得，所以该球面的一般方程为化为标准方程所以球面半径，球心坐标50、这里不仅，而且，如果，则方程组显然有惟一解，且.该方程组的系数行列式所以方程组有惟一解。由第1个方程和第2n个方程，有，得，，即；同理，由第2个方程和第2n-1个方程可得；……；由第n个方程和第n+1个方程可得.所以该方程组的惟一解为，1解

8、得.2解得3此含矛盾方程，故原方程无解！4取，则，解为，为任意常数.5分情况讨论：1)无解但是时无解，即.2)唯一解即，解得且.此时的解为3)无穷解解之有或者(舍).故，所以解为,其中为任意常数.6讨论：1)唯一解：解得此时解为2)无解：3)无穷解