线性代数居余马第2章矩阵

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1、第2章矩阵2.1高斯消元法求解n个未知元m个方程的线性方程组(mn）一般用代入消元法或加减消元法，化为容易求解的同解方程组。④+⑤（消去x2）得x3=2⑥例1用加减消元法解三元一次方程组x12x25x32①2x13x24x311②4x17x217x37③解(2)①+②;4①+③（消去x1）得7x214x37④x23x31⑤将x3=2代入④得x2=5,将它们代入①得x1=2。所以原方程组的解为x1=2，x2=5，x3=2。(阶梯形）方程组①，④,⑥与原方程组是同解方程组x12x2

2、5x32①7x214x37④x3=2⑥方程组的系数排成的数表定义数域F中的mn个数aij(i=1,,m;j=1,,n）排成m行n列的数表，称为数域F上的一个mn矩阵。简记为(aij)mn，其中aij叫做矩阵第i行，第j列的元素。aij都是零的矩阵称为零矩阵。记作0。当m=n时，称为方阵（或n阶矩阵）。a11,a22,,ann叫做方阵的主对角元。n个未知元m个方程的线性方程组(A,b)=A称为方程组的系数矩阵，（A,b）称为增广矩阵。例2求解线性方程组①c:第①行乘常数c③+②k第②行乘k加到第③行③⑤第

3、③行与第⑤行对换对增广矩阵（A,b）作：(A,b)=---②+(2)①③+(3)①④+(1)①④(1/3)---③④--------④+(2)②③+(2)②①+②--------②+(2)③--------代入（*）可解出全部解：x1=1+k17k2x2=k1x3=24k2x4=1+3k2x5=k2(k1,k2为任意常数)(行简化阶梯形矩阵)对应的同解方程组（*）3个方程，5个未知数，任取x2=k1,x5=k2x=(x1,x2,x3,x4,x5)T=(1+k17k2,k1,24k2

4、,1+3k2,k2)T当方程组中常数项b1=b2==bm=0时，称为齐次线性方程组，否则叫做非齐次线性方程组。=(k17k2,k1,4k2,3k2,k2)（k1,k2为任意常数）把例2的右边改为零得到的齐次线性方程组的行简化阶梯形矩阵和同解方程组为x=(x1,x2,x3,x4,x5)T其中(k1,k2为任意常数)。和其全部解为方程组的解也可以写成向量形式(称为解向量)组无解(称为不相容方程组)；有解的方程组称为相容方程组。x1x2x31①x12x25x32②2x13x24x35③例3判断下列线性方程组是否

5、有解。解③+②(1)①+②(1)③+①(2)②+①(1)最后一行表示的方程是0x10x2+0x32，显然无解，故原方程高斯消元法在消元过程中，会揭示出多余方程和矛盾方程。一般线性方程组的增广矩阵经消元变换可化为行简化阶梯形矩阵。为便于讨论，不妨设化为如下的形式：——其中cii=1(i=1,,r)在有解的情况下：(1)当r=n时，有唯一解：x1=d1,x2=d2,,xn=dn;(2)当r

6、即可求得全部解x=(x1,x2,,xn.)齐次线性方程组总是有解的。r=n时，只有零解，即x1==xn=0;当rn时，有无穷多解。求解的方法同上。行简化阶梯形矩阵中每行第一个非零元cii(i=1,,r)所在列对应的未知量x1,x2,,xr为基本未知量;其余的xr+1,令xr+1=k1,xr+2=k2,,xn=kn-r为任意常数，代入(*)式线性方程组的解的基本问题是：有解的条件（对于齐次方程组则是有非零解的条件）以及解的结构。如果齐次线性方程组中m

7、一的，但无穷多个解的集合是相同。用不同的消元步骤将增广矩阵化为阶梯形矩阵时，其形式不是唯一的，但行简化阶梯形矩阵非零行的行数是唯一的。若方程组有解，解中任意常数的个数是相同的；这些结论要用到矩阵的秩和向量组的线性相关性的理论。2.2矩阵的加法数量乘法乘法(2)设F,与A的数量乘积为：A=(aij)mn，B=(bij)mn.，AB=A+(B)2.2.1矩阵的加法与数量乘法的定义定义(1)设A=(aij)mn,B=(bij)mn,则A与B之和为A+B=(aij+bij)mn。A,B必须同型，都是m行，n列加

8、法满足：A+B=B+A(交换律)(A+B)+C=A+(B+C)(结合律)A+0=A(0为零矩阵);A+(A)=0数乘满足:1A=A;(A)=()A(+)A=A+A(A+B)=A+B（,为数）2.2.2矩阵的加法与数乘满足