居余马线性代数第三章课后习题

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1、第三章课后习题及解答将1，2题中的向量表示成的线性组合：1．2．解：设存在使得，整理得解得所以.设存在使得，整理得，，，.解得所以.判断3，4题中的向量组的线性相关性：3.4.解：3.设存在使得，即，由，解得不全为零，故线性相关.4.设存在使得，即可解得不全为零，故线性相关.5.论述单个向量线性相关和线性无关的条件.解：设存在使得，若，要使，当且仅当，故，单个向量线性无关的充要条件是；相反，单个向量线性相关的充要条件是.6.证明：如果向量组线性无关，则向量组的任一部分组都线性无关.证：设向量组线性

2、无关，利用反证法，假设存在该向量组的某一部分组线性相关，则向量组线性相关，与向量组线性无关矛盾，所以该命题成立.7.证明：若线性无关，则也线性无关.证：方法一，设存在使得，整理得，，因为线性无关，所以，可解得，故线性无关.方法二，因为，又因为，且线性无关，所以向量组的秩为2，故线性无关.8.设有两个向量组和其中是分别在的个分量后任意添加个分量所组成的维向量，证明：(1)若线性无关，则线性无关；(2)若线性相关，则线性相关.证：证法1，(1)设，，因为线性无关，所以齐次线性方程只有零解，即且，线性无

3、关.证法2，因为线性无关，所以齐次线性方程只有零解，再增加方程的个数，得，该方程也只有零解，所以线性无关.(2)利用反证法可证得，即假设线性无关，再由（1）得线性无关，与线性相关矛盾.9.证明：线性无关的充分必要条件是线性无关.证：方法1，（）=（）因为线性无关，且，可得的秩为3所以线性无关.线性无关；反之也成立.方法2，充分性，设线性无关，证明线性无关.设存在使得，整理得，因为线性无关，所以，可解得，所以线性无关.必要性，（方法1）设线性无关，证明线性无关，假设线性相关，则中至少有一向量可由其余

4、两个向量线性表示，不妨设线性表示，则向量组可由线性表示，且，所以线性相关，与线性无关矛盾，故线性无关.方法2，令，设存在使得，由得，代入得，，即因为线性无关，所以可解得，所以线性无关.10.下列说法是否正确？如正确，证明之；如不正确，举反例：（1）线性无关的充分必要条件是任意两个向量线性无关；解：不正确，必要条件成立，充分条件不成立，例：2维向量空间不在一条直线的3个向量，虽然两两线性无关，但这3个向量线性相关。设，两两线性无关，而线性相关.（2）线性相关的充分必要条件是有个向量线性相关；解：不正

5、确，充分条件成立，但必要条件不成立，例：设，线性相关，而俩两两线性无关.(3)若线性相关，线性相关，则有不全为零的数，使得且，从而使得，故线性相关.解：不正确，因为线性相关和线性相关，不一定存在同一组不全为零的数，使得和成立；或者说存在两组不全为零的数和使得和成立.(4).若线性无关，则线性无关.解：不正确，因为取1，1，1这组常数，使得，所以线性相关.(5)若线性无关，则线性无关；解：不正确，因为线性相关，由9题，为奇数个时，线性无关，为偶数时，线性相关.(6).若线性相关，则线性相关；解：正确

6、，因为线性相关，所以中至少有一向量可由剩余的个向量线性表示，则也可由那剩余的个向量线性表示，再因为，所以线性相关.11.如果线性相关，但其中任意3个向量都线性无关，证明必存在一组全不为零的数，使得.证：因为线性相关，所以存在不全为零的常数，使得，假设，则，得线性相关与题设矛盾.故；同样方法可证得都不为零.所以该命题成立.12.若线性无关，证明：线性无关的充分必要条件是不能由线性表示.证：必要性，假设能由，则线性相关与线性无关矛盾，故不能由线性表示.充分性，设存在使得，若，则能由线性表出，矛盾，所以

7、，因此，，又因为线性无关，所以，故，线性无关.13.求下列向量组的秩及其一个极大线性无关组，并将其余向量用极大线性无关组线性表示：（1）（2）;（3）解：（1）=所以，向量组的秩为3，为一个极大线性无关组，.（2）类似（1），可求得向量组的秩为3，为一个极大线性无关组，且，.（3）类似（1），可求得向量组的秩为3，为一个极大线性无关组，.14.设向量组：（1）证明线性无关；（2）求向量组包含的极大线性无关组.（1）证：设存在,使得，求得，所以线性无关；（2）解，,所以，为包含的一个极大线性无关组.

8、15.设皆为阶矩阵，，证明：（1）秩;（2）秩，为任意阶矩阵.证：（1）设，则存在阶可逆矩阵,,使得从而则秩秩（2）因为秩,所以秩.16.证明.证：设分别为矩阵，将按列分块，则有的列向量组可由的列向量组线性表示，故的列秩的列秩=，同样，将按行分块，得，因此，该命题成立.1.设分别为矩阵，且，证明：齐次线性方程组有非零解.证：由，所以，故齐次线性方程组有非零解.18.设是一个矩阵，是由的前行构成的矩阵.证明：若的行向量组的秩为，则.证：设，.设，于是，的行向量组的极大线性无关组含个向