第2节 Cauchy积分定理.ppt

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1、复变函数论多媒体教学课件DepartmentofMathematics第三章复变函数的积分第二节柯西积分定理复变函数论多媒体教学课件一柯西积分定理(1825)1定理3.3(柯西积分定理）设f(z)是单连通区域D内的解析函数，C是D内任一条周线,则注:要证明该定理比较困难.2定理3.4设f(z)是单连通区域D内的解析函数，C是D内任一条闭曲线(不必是简单的),则证明:因为C总可以看成区域D内有限多条周线连接而成,由复积分的基本性质(3)及柯西积分定理3.3,即可得证.注:定理要求D是单连通区域是必要的.如

2、:推论3.5设是单连通区域D内的解析函数，则在D内的积分与路径无关,即对D内任意两点与,积分证明:由定理3.4及复积分的基本性质(3)有因而解由柯西积分定理3.3,有例1例2解故积分与路径无关,则因此,解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关,(如下图)二.不定积分1定理3.6证明利用导数的定义来证.此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似.由于积分与路线无关,[证毕]故2定理3.73.原函数与不定积分的定义:(2)原函数之间的关系:(1)定义3.2定理3.84牛顿-莱布尼兹公式证根据柯西

3、积分定理,[证毕]说明:有了以上定理,复变函数的积分就可以用跟微积分学中类似的方法去计算.例3解故因为在D内,例4解所以例5解故三Cauchy积分定理推广1Cauchy积分定理等价定理证明:于是由定理3.3有定理3.9例6计算下列积分解由定理3.9有,四Cauchy积分定理推广到复周线的情形1定义3.32定理3.10或即证明:即例7解由复合闭路定理,此结论非常重要,用起来很方便,因为不必是圆,a也不必是圆的圆心,只要a在简单闭曲线内即可.例8解依题意知,根据复合闭路定理,作业P141习题(一)P14

4、25(1);6;8;本节结束谢谢！