第二节 cauchy积分定理

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1、§2Cauchy积分定理一、教学目标或要求：掌握柯西积分定理的准确叙述；理解证明思路二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）：基本内容：柯西积分定理的叙述和证明重点：柯西积分定理难点：柯西积分定理的证明三、教学手段与方法：讲授、练习四、思考题、讨论题、作业与练习：4－8§2Cauchy积分定理1.Cauchy积分定理从上节的例子可以看出，复积分的值可能与路径有关也可能无关，这要看被积函数满足什么样的条件。1825年柯西（Cauchy）给出了如下的定理，说明单连通区域内的解释函数的复积分与路径无关。它是复变函数的核心定理，常称为柯西积分定理：我们知道复变积分与积分路径有关，即沿不同的路

2、径，复积分的值不同.但我们知道，复积分可以化为两个实变积分和，而实变函数积分只取决于起点和终点而跟路径无关的条件，即它沿闭合回路的积分为零的条件是偏导数连续,且在闭合回路所围闭区域上有，同理实变函数积分沿闭合回路的积分为零的条件是连续，且，这些条件也就是复变积分与路径无关的条件，亦即回路积分的条件，以上条件不是别的，正是哥西—黎曼条件，即解析函数满足以上条件，由此得出结论：定理3.3设为复平面上的单连通区域，为内的任意一条围线，若在内解析，则。1851年，黎曼在附加假设“在D内连续”的条件下，得到一个简单证明。由柯西积分定理，可得下面的两个推论（这两个推论，亦称为柯西积分定理）。定理

3、3.4设为复平面上的单连通区域，为内的任意一条围线（不满足是简单的），若在内解析，则。推论3.5设在复平面上的单连通区域内解析，则在内积分与路径无关，即对内任意两点与积分之值，不依赖于内连接起点与终点的曲线。证　取内任意两点与，设起点为,终点为。为连接与的任意曲线,且连接成一个围线，则　　从而2.Cauchy积分定理的古莎证明（略）3.不定积分与数学分析类似，可引进不定积分的概念，而不定积分是与变上限积分密切相关的。不同的是对复函数情形，积分可能与路径有关，从而变上限积分可能不是单值函数。而若在单连通区域D内解析，则由柯西积分定理，积分与路径无关，从而变上限积分是唯一确定的单值函数。

4、哥西积分定理说明：如果在单连通区域D上,解析，则沿D上任一曲线L的积分与路径无关，只与其起点和终点有关，当始点固定时，积分在D上就定义了一个单值函数，记为：定理3.6设在复平面上的单连通区域内解析，则由定义的函数在内解析，且。证明：要证明，即证明：，按照极限的定义，需要证明，当时，有为此先计算：　　　由于积分与路径无关，可看成，于是有：　　　　　　　　　　即　　　　　　　　　　　由积分：得:　　　　　　　　　　　　　　由于在D上连续，即对于，必存在，当有.据此，只要，同时分点落在以z点为心，为半径的园内，就有　　　　　　　　　　　所以：　　　　　　　　　。在区域D内满足的函数称为在D

5、内的一个原函数.若在D上解析，则就是的一个原函数，并且的任一原函数为：　　　　　　　　　(c为常数)的原函数的集合就为的不定积分，显然有：　　　　　　　　　由此可得：求解析函数的积分问题归结为寻找原函数的问题.定理3.7设(1)在单连通区域内连续；(2)沿区域内任意一条围线的积分值为零（从而，积分与路径无关）。则函数在内解析，且。例计算解：在复平面上解析，且，所以为的一个原函数.　　　　　　　　　定理3.8(Newton-Leiblize）公式在定理3.6或3.7条件下，如果为在单连通区域内的任一个原函数，则。4．Cauchy积分定理的推广定理3.3’设为一条围线，为之内部，在闭域上

6、解析，则。定理3.9设为一条围线，为之内部，在内部解析，在上连续，则。5．Cauchy积分定理推广到复围线的情形下面我们从另一个方面再推广柯西积分定理，即将柯西积分定理从以一条（单）围线为边界的有界单连通区域，推广到以多条围线组成的“复围线”为边界的有界多连通区域。根据哥西定理，如果在围线c及其内部是解析函数，则.但如果在c所围区域内不是解析的，而是包含有奇点，则哥西定理不成立.若我们作一远Ｌ将奇点围住，而把Ｌ所围小区域挖去，这样就得到一个有洞的复连通区域.为了应用哥西定理,必须将复连通区域变为单连通区域.假设围线c内只有一个孤立奇点，为此，作割线AB连接外境界线c和内境界线Ｌ，单连

7、通区域的正方向如图所示，在该区域上解析，由哥西定理得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　即沿内、外境界线逆时针方向积分相等　　很容易从单个奇点推广到n个奇点的情形.假设c内包含着n个孤立奇点，若作n个围线分别将n个奇点围住(互不包含，互不相交)，把所围区域一同挖去，这样有　　　　　　　　　　　即　　　　　　　定理3.10设有围线，其中中的每一条均在其余各条