Cauchy-Binet定理证明.pdf

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1、Cauchy-Binet定理证明及应用安徽大学数学科学学院应用统计专业张源学号：A415140172016年7月10日摘要本文对Cauchy-Binet定理进行证明并举例Cauchy-Binet定理的简单应用举例。关键词Cauchy-Binet定理Laplace定理展开应用举例引言Cauchy-Binet定理是高等代数里非常重要的公式，可用于证明柯西恒等式、拉格朗日恒等式等。掌握该公式的证明对高等代数的学习大有裨益。正文Cauchy-Binet定理描述了矩阵的乘积与行列式的关系，其内容如下：设A

2、，B分别为矩阵，则有（1）当ns时，det0；（2）当ns时，detdetdet；（3）当ns时，detdet12...n;k1k2...kndetk1k2...kn;12...n1k1k2...kns下面给出该定理证明：我们令aij,bij,Ccij。可以构造ns阶方阵M，分块为，0M-，其中，I为单位方阵。下面用两种方法计算M的行列式。把M的第n1,n2,...

3、,ns行的第ak1,ak2,...,aks倍加到第k行去。k1,2,...,n如此，M的第k行就化为了：0,0,...,0,ck1,ck2,...,ckn方阵M化为了方阵N0，C-，显然detMdetN。再利用Laplace定理展开，对N的前n行进行展开，就有detMdetNdetdetC12...ns1s2...snsns其中detIs11对M的前n行直接做L

4、aplace定理展开：(1)当n>s时，M的前n行子式都为0，detM=0，则detC=det=0；(2)当n=s时，只有A这个子式非0，detdetdet；ss!(3)当n

5、,k2,...,kn列所得的矩阵，即J的第k1,k2,...,kn行全为0。用Laplace展开定理，按第k1,k2,...,kn行展开，detJ,B只有一个可能非零的子式，即B的第k1,k2,...,kn行所构成的子式detk1k2...kn;12...n。也就是说，detJ,BRdetk1k2...kn;12...nsnk1...knsn1...snn这里R11最后，总结上述结论，有detdetCde

6、t12...nac12...ndetdet1k1...k2sk1k2...knk1k2...kn12...nk1k2...kndetdetQR1k1...k2sk1k2...kn12...n而PQR1证毕在实际应用中，Cauchy-Binet定理可用于证明一些恒等式或不等式例：（Cauchy恒等式）设at,bt,ct,dt均为实数，i1,2,...,n,n2，则nnnn

7、atctbtdtbtctatdtajbkakbjcjdkckdj.（5）i1i1i1i11jkn证：因为nnnnnnatctatdtatctbtdtbtctatdti1i1i1i1i1i1nnbtctbtdti1i1c1d1a1a2...anc2d2b1b2...bncndn且n2，故

8、由Cauchy-Binet定理，上式可化为nnnnatctbtdtbtctatdti1i1i1i1ajakcjdj1jknbjbkckdkajbkakbjcjdkckdj1jkn（5）式中，特别地，当atct,btdt时，即得Lagrange恒等式：2nnn222atbtatbtajbkakbji1i1i11jkn证毕参考文献许以