积分型Cauchy中值定理的一个注记.pdf

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1、第25卷第1期鞍山钢铁学院学报VOI.25NO.12002年2月JOuInaIOfAnshanInstituteOfI.&S.TechnOIOgyFeb.，2002—————————————————————————————————————————————————————————————积分型Cauchy中值定理的一个注记张凤芝（鞍山钢铁学院数理系，辽宁鞍山114002）摘要：证明了积分型Cauchy中值定理中的中值，在一定的条件下，满足Iim!-a=1.!b、ab-a2关键词：Cauchy中值定理；积分型Cauchy中值定理；L*HOspitaI法则

2、中图分类号：0174.1文献标识码：A文章编号：1000!165（42002）01!0050!03在微分学中，Cauchy中值定理是：设（fx）和g（x）在［a，b］上连续，在（a，b）内可导，且g*（x）／0，则在（a，b）内至少存在一点使!（fb）-（fa）f*（!）=g（b）-g（a）g*（!）在文献［1］中给出了Cauchy中值定理的一种积分形式如下：积分型Cauchy中值定理设（fx）和g（x）在闭区间［a，b］上连续，且g（x）保号（恒大于0或恒小于0），则在［a，b］上至少存在一点，使!b（fx）cxJa（f!）b=g（!）Jg（x）c

3、xa在文献［2，3］中都曾经指出Cauchy中值定理中的中值，在一定条件下，满足Iim!-a=1.本文将!b、ab-a2证明对于积分型Cauchy中值定理也有类似的结果.定理1设（fx）和g（x）在［a，b］上连续，在（a，b）内可导，且g*（x）／0，（fx）/g（x）在a点有右导数且其右导数值不等于0，则积分型Cauchy中值定理中的满足!Iim!-a=1b、ab-a2证明首先注意g（x）在［a，b］上连续和在（a，b）内有g*（x）／0，推得g（x）在［a，b］上的保号性，从而由积分型Cauchy中值定理有b（fx）cxJa（f!）b=g（!）

4、Jg（x）cxa其中a＄，显然，当b、a，!＄b!、a.考虑b（fx）cxJa（fa）（fa）b（b-a）-b+ag（a）g（a）Jg（x）cxaIim2b、a（b-a）收稿日期：2001-12-05.作者简介：张凤芝（1960-），女，辽宁海城人，讲师.第l期张凤芝：积分型Cauchy中值定量的一个注记·5l·（fx）记F（x）=，可得g（x）b（fx）cx"a（fa）（fa）b（b-a）-b+ag（a）g（a）g（x）cx"aF（!）-F（a）Iim2=Iim=b!a（b-a）b!ab-aIimF（!）-F（a）!-a=b!a!-ab-aF,+（

5、a）Iim!-a（l）b!ab-a应用L,~OspitaI法则b（fx）cx"a（fa）（fa）b（b-a）-b+ag（a）g（a）"g（x）cxaIim2=b!a（b-a）bbb（fx）cx（fb）g（x）cx-g（b）（fx）cx"a"a"a（fa）b+b2（b-a）-g（a）"g（x）cx"[g（x）cx]aaIim=b!a（2b-a）bb（f!）（fa）-（fb）g（x）cx-g（b）（fx）cxlg（!）g（a）"a"aIim+b2=2b!a{b-a}"[g（x）cx]ab（fx）cxlF（!）-F（a）（fb）g（b）"aIim+b-bb

6、=2b!a{b-ax}"g（x）cx"g（x）cx"g（x）caaaF（!）-F（a）（fb）-g（b）F（!）l+bIimb-a=2b!a{"g（x）cx}a（fb）g（b）[-F（!）]lF（!）-F（a）g（b）Iim+b=2b!a{b-ax}"g（x）caF（!）-F（a）F（b）-F（!）b-al+g（b）bIimb-ab-a=2b!a{"g（x）cx}aF（!）-F（a）b-aF（b）-F（a）F（!）-F（a）l+g（b）b[-]2Ibi!ma{b-ag（x）cxb-ab-a}="aéb-aùlb-aF（b）-F（a）F（!）-F（a）

7、l-g（b）bIimg（b）bb-a+b-aêêg（x）cxúú（2）2b!a{"g（x）cxë"aû}a因为b-alIimg（b）b=g（a）=lb!ag（a）"g（x）cxa·5·鞍山钢铁学院学报第5卷F（6）F（a）IimF（a）6!a6aF（!）F（a）F（!）F（a）!aF（!）F（a）""M6a!a6a!a其中M为一个正常数，所以由式（）得6（fx）dx#a（fa）（fa）6（6a）6ag（a）g（a）g（x）dx#a1IimF（a）（3）6!a（6a）比较式（1）和式（3），即得Iim!a1.证毕.6!a6a参考文献：［1］阴东升，丛翠

8、英.牛顿!莱布尼茨公式的应用［J］.曲阜师范大学学报（自然科学版），1995，（11）：798.［］李文荣.