cauchy积分公式及其推论

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1、§3Cauchy积分公式及其推论一、教学目标或要求：彻底掌握柯西积分公式的叙述和证明二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）：基本内容：柯西积分公式的叙述和证明重点：柯西积分公式的叙述和证明难点:柯西积分公式的叙述和证明三、教学手段与方法：讲授、练习四、思考题、讨论题、作业与练习：9－12§3Cauchy积分公式及其推论1.Cauchy积分公式我们利用柯西积分定理（复围线形式）导出一个用边界值表示解析函数内部值的积分公式。定理3.11(柯西积分公式)：设c为区域D的边界，在上解析，则对于区域D内任一点Z，有：　　　　　　　　　　　证明：设z

2、为D内任意一点，则作为以为自变量的函数除z点以外在区域D内均解析.以z点为心,充分小的为半径作圆周，使及其内部均含于D内，由柯西定理的推广得　　　　　　　　　　　　由得　　　　　　　　　　　　由于与积分变量无关，所以　　　　　　　　　　　下面证明：　　　　　　　　　　　　　　　根据的连续性，对任意，必存在正数，当，有,因此只要取，则当满足时，就有　　.于是　　　　　　　　　　所以当时，　　　　　　　　　　　　即　　　　　　　　　　所以　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(证毕)柯西积分公式可以改写成　　　　　　　　　借此公式可以计算某

3、些围线积分（指路径是围线的积分）。例　计算积分　　　　　　　　　　　解　因在闭圆上解析，由柯西积分公式得　　　　　例计算积分。解首先，识别积分类型．由于被积函数在积分路径内部含有两个奇点与，所以，想到用“挖奇点”法来计算。其次，为了用“挖奇点”法，作，有最后，计算上式右端两个积分，得故。例计算积分,其中为．解首先，识别积分的类型。由题可见，所求积分的积分路径为闭路，被积函数在内部含有2个奇点0与。其次，由所求积分的特征，可用“挖奇点”法来计算。为此，在内部作二圆周，，所以，有得从而　　定理3.11的特殊情形，有如下的解析函数的平均值定理。定

4、理3.12　若在内解析，且在上连续，则即在圆心的值等于它在圆周上的值的算术平均数。证　设表圆周，则　　　　　　　　　　或　　　　　　　　由此　　　　　　　，根据柯西积分公式例设在上解析,若存在当时且，则在 内至少有一个零点。证 反证法。设在内无零点。又已知在上无零点，可设，则在上解析且，由已知，但　　　　　　　矛盾。故假设不成立，定理得证。2.解析函数的无穷可微性定理3.13(高阶导数公式)设是以围线为边界的单连通区域，若在内解析，且在上连续，则在区域内有各阶导数，并且有　　　　　　　注：公式的条件可减弱为f(z)在区域D上解析，在闭域上连

5、续。下面我们来对这一定理作些分析说明。首先，我们对Cauchy公式两边求导，对右边交换求导与积分的次序，立得一阶导数的Cauchy公式。继续求导，重复同样的操作，即得高阶导数的Cauchy公式。但这样的做法显然是不严格的，因为求导与积分交换次序的合法性并未得到证明。然而，这一做法能帮助我们熟悉高阶导数公式，并使得我们能够在记得Cauchy公式的情况下立即将高阶导数公式做出来。其次，我们看看怎样可以做得严格一些。以n=1为例，对z和分别用Cauchy公式，可得两边取的极限，对右边交换求极限与积分的次序，立得一阶导数的Cauchy公式。类似可得

6、高阶导数公式。必须指出，这样的做法仍然是不严格的，因为求极限与积分交换次序的合法性也未得到证明。不过，我们已经向严格证明的方向迈进了重要的一大步。严格的做法是：以n=1为例，证明，总可找到，使得(略)。例计算,是绕一周的围线。解　　　     例计算积分。解由高阶导数公式定理3.14设在单连通区域内解析，则在内具有各阶导数，并且它们也在内解析。刻划解析函数的第二个等价定理定理3.15函数在区域内解析的充要条件是（1）在内连续。（2）在内成立。