资源描述：
《第3节 cauchy积分公式及其推论》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、复变函数论多媒体教学课件DepartmentofMathematics第三节柯西积分公式及其推论问题的提出根据复围线积分性质知,该积分值不随闭曲线C的变化而改变,一、柯西积分公式1定理3.11证明这就是柯西积分公式.柯西积分公式2定义3.4在定理3.11条件下称为柯西积分.关于柯西积分公式的说明:(1)把函数在C内部任一点的值用它在边界上的值表示.(这是解析函数的又一特征)(2)公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法,而且给出了解析函数的一个积分表达式.(这是研究解析函数的有力工具)(3)Cauch
2、y积分公式也可写成例1解由柯西积分公式例2分析由柯西积分公式解3平均值公式定理3.12即f(z)在圆心处的值等于它在圆周上值的算术平均值.证明例3而且证明由平均值公式从而因为矛盾二解析函数的无穷可微性1定理3.13在定理3.11条件下,函数f(z)在区域D内有各阶导数,并且有注上式也可写成该公式在求积分是常用到注该公式可用数学归纳法证明(参考余家荣编复变函数）注1以上讨论表明，函数在一个区域内的解析性是很强的条件，和仅仅在一个点可导是有非常大的差异；注2任意阶导数公式是柯西公式的直接推论；例4解例5解分几种情况
3、同理有根据复周线Cauchy积分定理和高阶导数公式,2解析函数的无穷可微性定理3.14设函数f(z)在z平面上区域D内解析,则f(z)在D内有各阶导数,并且它们也在D内解析.证明故f(z)在D内有各阶导数。3刻划解析函数的第二个等价定理证明充分性为定理2.5必要性条件2的必要性已由定理2.1得出,由解析函数的无穷可微性,三柯西不等式与刘维尔定理1柯西不等式证明2刘维尔(Livouile)定理刘维尔定理有界整函数必为常数.设f(z)是有界整函数，由柯西不等式，有整函数-----在整个复平面解析的函数.证明令可见从
4、而f(z)恒等于常数。注:非常整函数必无界。3代数学基本定理至少有一个零点.证明若P(z)在z平面上无零点,因P(z)在z平面上解析,故存在充分大的正数R,从而在z平面上,矛盾.故P(z)在z平面上至少有一个零点.作业P141习题(一)P1439,10,12,P144习题(二)P14510;四莫勒拉定理应用解析函数有任意阶导数，可以证明柯西定理的逆定理，则f(z)在D内解析。1定理3.16若函数f(z)在单连通区域D内连续，且对D内的任意周线C，有证明在定理条件下,由定理3.7即知在D内解析,且在D内解析,且即
5、f(z)在D内解析。2刻划解析函数的第三个等价定理1定理3.17函数f(z)在区域G内解析的充要条件是:(1)f(z)在G内连续;(2)对任一周线C,只要C及其内部全含于G内,就有证明必要性由Cauchy积分定理3.3可导出;充分性由定理3.16,例6证明又在z平面上,从而为常数;注:例7证明在复平面上任取一点z,作圆周作业P14311,15,P141习题(一)作业P141习题(一)P1439,10,12,P144习题(二)P14510;P14311,15,P141习题(一)本节结束谢谢！ComplexFunc
6、tionTheoryDepartmentofMathematics
