《线性代数》第一章 n阶行列式.ppt

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1、线性代数信息与统计学院第一章n阶行列式第二节行列式的性质第四节克莱姆法则第三节行列式按行(列)展开第一节行列式的概念本章的基本要求与重难点深刻理解n阶行列式的定义。熟记行列式的性质。熟练掌握行列式的计算。重点：行列式的计算。难点：n阶行列式的计算。第1节行列式的概念行列式起源于解方程组引例方程组系数行列式称为二阶行列式。二阶行列式（determinant）给定a、b、c、d四个复数，称为二阶行列式。其中元素aij的第一个下标i为行标，第二个下标j为列标。即aij位于行列式的第i行第j列。为方便记主对角线副对角线二阶行列式

2、的计算对角线法则例如说明1.行列式是一个数；2.计算规则：对角线法则；3.每一项都是不同行不同列的两个数相乘，前面的正负号不同；共有4.一行一列称为1阶行列式，记为5.二行二列称为2阶行列式三行三列称为3阶行列式…………………n行n列称为n阶行列式What’sthe三阶行列式?称为三阶行列式。可用下面的对角线法则记忆例1解按对角线法则，有例2证明证明：中，6项的行下标全为123，而列下标分别为在三阶行列式，共有；每一项都是不同行不同列的三个数相乘，前面的正负号不同123，231，312此三项均为正号132，213，321

3、此三项均为负号为了给出n阶行列式的定义，下面给出全排列及其逆序数的概念及性质。Howtoexplainthen阶行列式？Inordertogivethedefinitionofthen阶行列式，wewillgivethefollowingdefinition!Pleasegivemeyourattention!!!!全排列及其逆序数定义由1，2，···，n组成的有序数组称为一个n级全排列。（简称排列）记为j1j2···jn.例如32541是一个5级全排列83251467是一个8级全排列3级全排列的全体共有6种，分别为12

4、3，231，312，132，213，321n级全排列的种数为定义在一个排列中，若某个较大的数排在一个较小的数前面，即，则称这两个数组成此排列的一个逆序。例如排列32514中我们规定各元素之间有一个标准次序,n个不同的自然数，规定由小到大为自然排序（标准次序）。如：123…n是自然排序排列的逆序数32514逆序逆序逆序定义一个排列j1j2···jn中所有逆序的总数称为此排列的逆序数。记为（j1j2···jn）例如排列32514中32514逆序数为31故此排列的逆序数为(32541)=3+1+0+1+0=5.说明：(1

5、234…n)=01.分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数；2.这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.计算排列逆序数的方法步骤42531于是排列42531的逆序数为7为奇数，称为奇排列5的前面没有比5大的数,其逆序数为0;3的前面比1大的数有3个,故逆序数为2;1的前面比1大的数有4个,故逆序数为4;例1(1)求排列42531的逆序数.解在排列42531中,4排在首位,逆序数为0;2的前面比2大的数只有一个4,故逆序数为1于是此排列的逆序数为4的前面比4大的数n-2,其逆序

6、数为n-2;6的前面比6大的数有3个,故逆序数为n-3;…………………2n的前面比2n大的数有0个,故逆序数为0;解:共n个数共n个数2的前面比2大的数只有一个n-1,故逆序数为n-1讨论奇偶性：定义（p2）:排列的奇偶性逆序数为奇数的排列称为奇排列逆序数为偶数的排列称为偶排列.当时为偶排列；当时为奇排列.定义在排列中，将任意两个数对调，其余数不动，这种对排列的变换叫做对换．将相邻两个数对调，叫做相邻对换．例如3251431524231321定理1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．证明设排列为对换与除外，其它

7、元素的逆序数不改变.当时，的逆序数不变;经对换后的逆序数增加1,经对换后的逆序数不变，的逆序数减少1.因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.设排列为当时，现来对换与次相邻对换次相邻对换次相邻对换所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.n阶行列式的定义三阶行列式说明（1）三阶行列式共有6项，即项．（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．（3）在行标按顺序排列后，下列标排列的逆序数决定每项的“+、-”号，偶“+”、奇“-”．例如列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为偶排列奇排列（4）3阶行列式的一般项为：为

8、行标排列逆序数与列标排列逆序数的和.说明：定义4(p3)二、n阶行列式规定一阶行列式其中为行标排列的逆序数.阶行列式也可定义为事实上按行列式定义有记对于D中任意一项总有且仅有中的某一项与之对应并相等;反之,对于中任意一项也总有且仅有D中的某一项与之对应并相等,于是D与中的项可以一一对应并相等,从而其中是两个级排列，