线性代数-第一章行列式1.3n阶行列式的计算

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1、第一章行列式§1.3n阶行列式的计算本节将简单介绍利用行列式按行（列）展开的定理和行列式的性质计算行列式的方法.例1计算行列式12132312D11100121第一章行列式解：12131213rrrr2120114310114D1110030301210121114113cc313033001211201331820第一章行列式例2计算行列式abcdaababcabcdDa2ab3a2bc4a3b2cda3ab6a3bc10a6b3cd解：abcdrr43rr320aaba

2、bcDrr210a2ab3a2bc0a3ab6a3bc第一章行列式aababcaa2ab3a2bca3ab6a3bcaababcrr32a2ab24a02aabaarra3ab2103aab以上两例都是首先通过性质5将行列式某一行（列）只保存一个非零元素，然后利用第二节定理1.2.1的推论，降阶计算行列式的值，这是计算行列式常用的方法之一.第一章行列式例3计算4131265312103524解：12101210rr221rr132653rr3140233Drr341314107

3、7135240154第一章行列式12101210rr240154rr32701540771rr4220028290233007512101210rr4rr3401544301540075007500282900091(1)(7)(9)63第一章行列式例3是利用行列式的性质2、5将行列式主对角线下方的元素全化为零（即化为上三角行列式），行列式的值为主对角线上元素的连乘积.由于化简过程具有程序化，因此工程技术上，常用计算机程序计算高阶行列式的值.x311x1y1z例4设y011，求D413

4、z21111第一章行列式111xyz解：D413413111111xyzxyzrr23413302111111x31y011z21第一章行列式1123例5设多项式212x23fx()231522319x试求f(x)的根.解(方法一)1000cc21cc223111x00fx()cc341213122133x第一章行列式10001cc432311x00223(1xx)(4)213022134x求得f(x)=0的根为x1=-1，x2=1，x3=-2，x4=2(方法二）有性质2推论3知，当2-x2=1或9-x2

5、=5时，f(x)=0.故x=-1，x=1，x=-2，x=2为f(x)=0的根.由于f(x)为x的12344次多项式，因此f(x)=0只有4个根.第一章行列式abbbbabb例6计算n阶行列式Dbbabbbba解：将第2,3,…，n列都加到第1列得an1bbbban1babbDan1bbaban1bbba第一章行列式1bbb1abba(n1)b1bab1bba1bbbab0n1a(n1)baba(n1)b(ab).0ab行列式的每一行的n个元素之和相

6、等时常用此法.第一章行列式例7计算ab0...00...00ab...00...0........................00...ab...00D2n00...cd...00........................0cd...00...0cd0...00...0第一章行列式解：将D按第一行展开2nab0...00...0........................00...ab...00Da00...cd...002n........................cd0...00...00ab...00...000...00...0d.........

7、...............00...ab...0021nb(1)00...cd...00........................0c...00...00c0...00...00第一章行列式2n12n12n112n1ad(1)Dbc(1)(1)D2nn222()adbcD22n即D()adbcD2nn222所以D(adbcD)(adbcD)2n2(n1)2(n2)abn11nn(adbc)D(adb