线性代数第一章 n阶行列式

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1、线性代数第一章n阶行列式第一节二阶和三阶行列式第二节n阶行列式定义及性质第三节n阶行列式的计算第四节克莱姆法则第一节二阶和三阶行列式线性代数第一章n阶行列式第1节二阶和三阶行列式一、行列式概念的引进二元线性方程组其中为常数，为未知量。用中学学过的加减消元法可得结论：当时，方程组有唯一组解：3定义1四个数排成二行二列的方形数表，加上记号“

2、

3、”，表示一个二阶行列式，其值为，即其中称为行列式的元素。元素的脚标表第行，表第列，即表行列式中位于第行第列的元素。线性代数第一章n阶行列式第1节二阶和三阶行列式4由二阶行列式的定义，可将前述二元线性方程组的解写为：线性代数第一章n阶行列式第1节二阶和三阶行

4、列式称为线性方程组（1）的系数行列式。上述结论还可简记为：当二元方程组（1）的系数行列式时，方程组有唯一解。其中为系数行列式的第列换为常数列，其余列不动而得到的行列式。5定义2九个数排成三行三列的方形数表，加上记号“

5、

6、”，表示一个三阶行列式：线性代数第一章n阶行列式第1节二阶和三阶行列式三阶行列式值的计算可按图示“对角线法则”来记忆。6三元线性方程组：线性代数第一章n阶行列式第1节二阶和三阶行列式当系数行列式时，方程组（2）有唯一解上述结论仍可简记为，其中为系数行列式，为的第列换为常数列，其余列不动而得到的行列式。7三阶行列式性质：性质1将行列式的行列互换，行列式值不变。即线性代数第一章n

7、阶行列式第1节二阶和三阶行列式称这两个行列式互为转置行列式。行列式行列互换（将行列式行依次改为列）称为行列式转置。性质2行列式任意两行（列）互换，行列式值反号。推论若行列式两行（列）相同，则行列式值为零。二、行列式的性质8性质3行列式某一行有公因子，则可提到行列式号外。即线性代数第一章n阶行列式第1节二阶和三阶行列式推论1行列式有一行（列）元素均为0，则行列式值为0。推论2行列式有二行（列）元素成比例，则行列式值为0。9性质4行列式某一行（列）的元素可以表示成两项之和，则该行列式可写成两个行列式之和。线性代数第一章n阶行列式第1节二阶和三阶行列式性质5将行列式一行（列）的倍数加到另一行（列）

8、上，行列式值不变。10三、行列式按行（列）展开定理定义3三阶行列式中划去元素所在的第行与第列的元素，其余的元素按原来的次序构成一个二阶行列式，称为元素的余子式，记作，令，称为元素的代数余子式。定理1三阶行列式值等于其任一行（或列）的元素与其代数余子式乘积之和。即：线性代数第一章n阶行列式第1节二阶和三阶行列式11例1求上三角行列式线性代数第一章n阶行列式第1节二阶和三阶行列式例2求例3求12第二节n阶行列式定义及性质定义1由自然数组成的一个有序数组称为一个阶排列。一般地说一个阶排列可用表示。所有的阶排列的总数为个。定义2在阶排列中，如果就称为该排列的一个逆序，排列中逆序的总个数称为该排列的逆

9、序数，记作排列具有自然顺序，即逆序数为0，称之为自然排列。定义3逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。线性代数第一章n阶行列式第2节n阶行列式定义与性质一、阶排列14例1计算下列排列的逆序数并指出排列的的奇偶性。1）五阶排列（42153）2）阶自然排列偶排列3）阶倒序排列时，偶排列时，奇排列例2求线性代数第一章n阶行列式第2节n阶行列式定义与性质15线性代数第一章n阶行列式第2节n阶行列式定义与性质定理1任一排列经一次对换，必改变其奇偶性。推论1在所有阶排列中，奇排列、偶排列各占一半，均为。推论2任一阶排列均可以通过若干次对换变为自然排列，并且所做的对换次数的奇偶数与这

10、个排列的奇偶性一致。在一个排列中，把其中两个数的位置互换，其余数位置不动，这样的变换称为对换。如16二、阶行列式的定义三阶行列式定义：线性代数第一章n阶行列式第2节n阶行列式定义与性质所有为取自不同行、不同列三个元素的乘积的代数和，各项的符号由决定，因此上展开式可写成二阶行列式定义也可写成：推广二、三阶行列式定义，可以给出阶行列式定义。17定义3由个数排成行，列的数表，加符号“

11、

12、”，称为阶行列式，它的值为所有取自不同行、不同列的个元素乘积的代数和，每项的符号由决定，即：规定一阶行列式。阶行列式的完全展开式中含有项。所带符号一半为正，一半为负。线性代数第一章n阶行列式第2节n阶行列式定义与性

13、质18例1在五阶行列式中，决定这项前面所带的符号。例2计算上三角行列式之值。进一步考虑线性代数第一章n阶行列式第2节n阶行列式定义与性质当时，符号为正，时，符号为负。19线性代数第一章n阶行列式第2节n阶行列式定义与性质阶行列式展开也可表为：阶行列式定义中，每一项中个元素的排列次序是使它们的行标成自然排列的，即。数的乘法有交换率，故可以适当调换个元素的次序，使这个元素的列标成自然排列，即。故。与同为奇排列或偶