线性代数第1章n阶行列式

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1、线性代数讲授者：覃健生Tel:132377076981第一章n阶行列式§1二阶与三阶行列式一、二元线性方程组与二阶行列式2上式分子分母都是四个数分两对相乘再相相减而得。345二、三阶行列式（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式。6对角线法则记忆：78§2全排列及其逆序数引例：用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？此问题相当于问：把这三个数分别放在百位、十位、与个位上，有几种不同的放法？答案是：共有321=6种放法。这六个数分别是：123、132、213、231、312、321问题：把n个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？9问题：把n个不同的元素排成一列，共

2、有几种不同的排法？定义：把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列（简称排列）。研究n个不同元素的所有排列的种数Pn。从n个元素中取一个放在第一个位置上，有n种取法；从剩下的n-1个元素中取一个放在第二个位置上，有n-1种取法；依次类推有:Pn=n·(n-1)·(n-2)3·2·1=n!逆序数:对于n个不同的元素，我们规定各元素之间有一个标准次序（例:对于n个不同的自然数可规定由小到大为标准次序）.在n个元素的某一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序。逆序的总数称为排列的逆数.逆序数为奇数的排列叫做奇排列；反之为偶排列.10逆序数的计算：设P1P2Pn

3、为n个自然数的一个排列若比Pi大的且排在Pi前面的元素有ti个（即Pi的逆序数为ti）则这个排列的逆序数为：例：求32514的逆序数。排列：32514ti:01031t=0+1+0+3+1=511§3n阶行列式的定义二,三阶行列式的定义:12分析三阶行列式的定义此行列式的特点：（i）上式右边的每一项都是三个元素的乘积，这三个元素位于不同的行、不同的列。每一项除正负号外均可写为：其中：第一个下标为行标；第二个下标为列标。13(ii)各项的正负号与列标的排列对照：带正号的列排列:123,231,312带负号的列排列:132,213,321------偶排列------奇排列所以，三阶行列式可

4、写成：对所有列排列求和推广到一般情形14定义：设有n2个数,排列成n行n列的数表:把位于不同行不同列的n个元数的乘积，并冠以符号(-1)t共有　　　项n!15例2证明对角行列式(其中对角线上的元素是i,未写出的元素都是0。)证明第二式：t=1+2+n-116定义：对角线以下（上）的元素都为0的行列式叫做上（下）三角形行列式。17§4对换讨论行列式对换以及它与排列奇偶性的关系。定义：在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换。定理1一个排列中的任意两个元素对调，排列改变奇偶性。相邻元素对换前后排列的奇偶性不同18总共经过2m+1次相邻对换所以：不相邻对换的

5、奇偶性也相反。得出定理1推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数。19行列式的另外一种表示法：说明对换乘积中两元素的次序时，行标排列与列标排列同时作了相应的对换，行标排列与列标排列的逆序数之和并不改变奇偶性。20经过多次对换得：t10,rs21§5行列式的性质称行列式DT为行列式D的转置行列式。性质1行列式与它的转置行列式相等。22由定理2得：DT=D性质2互换行列式的两行（列），行列式变号。23互换行列式的两行（列），行列式变号推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。证明：把这两行互换，有D=-D,故D=0。24性质3行列式的某一行（列）

6、中所有的元素都乘以同一个数k，等于用数k乘以此行列式。推论行列式中某一行（列）所有元素的公因子可提到行列式符号的外面。性质4行列式中如果有两行(列)元素成比例，此行列式为零。用性质3和性质2的推论可证之25性质5若行列式中的某一列(行)的元素都是两数之和：证:26性质6把行列式的某一列(行)的元素乘以同一个数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变。27证：28解：D29D303132证33例11计算用行列对换、例10结果、递推关系可计算之34§6行列式按行(列)展开3536例证37定理3行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即例证———行列式按行（列）展

7、开法则。3839推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即40第i行第j行41§7克拉墨法则其解能否用行列式表示?42克莱姆法则如果线性方程组（4）的系数行列式不等于零，即：那么，方程组（4）有唯一解：43再把它们相加，得：444546定理4如果线性方程组(4)的系数行列式D0，则(4)一定有解，且解是唯一的。定理4'如果线性方程组(4)无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。47定理