线性代数-第一章行列式1.1n阶行列式

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1、第一章行列式Ch1n阶行列式§1.1n阶行列式的概念§1.2n阶行列式的性质§1.3n阶行列式的计算§1.4克拉默法则第一章行列式§1.1n阶行列式的概念一、行列式的引入二、n阶行列式三、小结思考题第一章行列式一、行列式的引入用消元法解二元线性方程组axaxb,(1)1111221(1-1)axaxb.(2)21122221a:aaxaaxba,2211221122221222a:a12a21x1a12a22x2b2a12,12两式相减消去x，得2第一章行列式（aaaa）xbaab;11221221

2、1122122类似地，消去x，得1（aaaa）xabba,112212212112121当aaaa0时，方程组的解为11221221baababba122122112121x，x.12a11a22a12a21aa1122aa1221由方程组的四个系数确定.第一章行列式定义引入记号：aa1112aa2122称之为二阶行列式，它表式数值aaaa，11221221aa1112即Daaaa.11221221aa2122行列式中横排的叫作行，纵排的叫作列，aijij(,1,2)称为行列式的元素，i为行标，j为列标.第

3、一章行列式二阶行列式的计算对角线法则主对角线a11a12aaaa.11221221次对角线a21a22a11x1a12x2b1,对于二元线性方程组a21x1a22x2b2.aa1112若记D,aa2122系数行列式第一章行列式a11x1a12x2b1,a21x1a22x2b2.aaba1112112D,D,1aaba2122222ba112Dbaab,1122122ba222第一章行列式类似地a11x1a12x2b1,a21x1a22x2b2.a11a12a11b1D,D.aa

4、22122a21b2ab111Dabba.2112121ab212第一章行列式则二元线性方程组的解为b1a12ab111D1b2a22Da21b2x,x2.1Daa21112Da11a12a21a22aa2122注意分母都为原方程组的系数行列式.第一章行列式例1求解二元线性方程组3x12x212,2x1x21.32解D3(4)70,21122312D14,D21,121121D14D2112x2,x3.12D7D7第一章行列式类似地，axaxaxb,11112

5、21331由三元线性方程组axaxaxb,（12）2112222332axaxaxb;3113223333引入记号aaa111213aaa212223aaa313233称之为三阶行列式.它表式数值第一章行列式aaa111213aaaaaaaaa(14)112233122331132132aaa212223aaaaaaaaa112332122133132231,aaa313233三阶行列式的计算a11a12a13a11a12(1)沙路法Da21a22a23a21a22a31a32a33a31a32

6、Daaaaaaaaa112233122331132132aaaaaaaaa.112332122133132231第一章行列式(2)对角线法则aaa111213aaa212223aaa313233aaaaaaaaa112233122331132132aaaaaaaaa.132231122133112332注意红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号．说明1.对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．第一章行列式2.三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负

7、.利用三阶行列式求解三元线性方程组a11x1a12x2a13x3b1,如果三元线性方程组a21x1a22x2a23x3b2,a31x1a32x2a33x3b3;aaa111213的系数行列式Daaa0,212223aaa313233第一章行列式a11a12a13b1a12a13记Da21a22a23D1b2a22a23,a31a32a33b3a32a33aba11113aab11121Daba,221223Daab.321222aba31333aab31323则三元线性方程组的解为:DDD123x

8、,x,x.123DDD第一章行列式12-4例2计算三阶行列式D-221--342解按对角线法则，有D12(2)21(3)(4)(2)41142(2)