线性代数课件-1.2_n阶行列式______1.3_行列式性质.ppt

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1、上堂课内容概念：n级排列：由自然数1、2、…、n组成的一个有序数组。逆序：对n级排列j1j2…ji…jk…jn,，若ji＞jk，则称jijk构成一个逆序，记为jijk。逆序数：一个排列中逆序的个数称为这个排列的逆序数。记为对换:j1j2…ji…jk…jn（ji，jk）j1j2…jk…ji…jn性质：【定理1·1】一次对换改变排列的奇偶性。【定理1·2】在所有的n级排列中（n>1）,奇排列与偶排列的个数相等，各为个.§1·2n阶行列式的定义（一）二、三阶行列式二阶行列式=三阶行列式(二）n阶行列式定义1·4由个数（i,j=1、2、3…n)组成的符号称为n阶行列式位于行列式中第i行第j列的元素例如

2、位于行列式中第3行第2列的元素第一行第二行第n行第一列第二列第n列二阶行列式=两项的代数和，每一项是行列式中不同行不同列的两个元素的乘积其中三阶行列式==六项的代数和，每一项是行列式中不同行不同列的三个元素的乘积=两项的代数和，每一项是行列式中不同行不同列的两个元素的乘积=六项的代数和，每一项是行列式中不同行不同列的三个元素的乘积2！3！∑求和号n级排列（由1、2…n组成，共n!个）n级排列的逆序数行列式中n个不同行不同列的元素的乘积=n!项的代数和，每一项是行列式中不同行不同列的n个元素的乘积行列式的一般项：一般我们称为n阶行列式按行自然排列的展开式【例（补）】计算行列式解：要使必须【例（补

3、）】计算行列式解：=0【例1】计算行列式D=上三角行列式主对角线要使必须解：【例4（补）】行列式=行列式的一般项：=n!项的代数和，每一项是行列式中不同行不同列的n个元素的乘积数但按行自然排列其中均为n级排列定理1·3n阶行列式的一般项也可写为：这一项的符号应为例如，在四阶行列式的展开式中，【例（补）】已知为五阶行列式的展开式中的一项，问i、j、k应为何值？当i、j、k取定后，该项的符号是什么？解：当i=4,k=5,j=3时，所以，该项的符号应取负号，即当i=5,k=4,j=3时，所以，该项的符号应取正号，即j只能取3，而i、k可分别取4、5其中均为n级排列定理1·3n阶行列式的一般项也可写为

4、：为123…n则n阶行列式的一般项可表示为：推论1：在定理1·3中，取推论2：n阶行列式的展开式又可表示为按列自然排列的展开式因此：§1·3行列式的性质转置行列式：把D中的行变为列，列变为行，可得一个新行列式称为D的转置行列式对行列式例如则证明：则设此时值相等，即性质1行列式D与其转置（根据定理1·3的推论2）=D行列的地位是相同的性质2第t行第k行互换行列式的某两行（列），行列式的值变号。即DD1证：D=第k行第t行D的一般项为第k行第t行D1=D1的一般项为第k行第t行因此推论：第k行第t行D==0因为将第k行与第t行互换可得即行列式中有两行（列）完全相同，则其值为零。即性质2互换行列式的

5、某两行（列），行列式的值变号。即性质3：行列式中某一行（列）的公因子可提到行列式符号的前面。即证：=推论1：若行列式的某一行（列）中所有元素全为零，则此行列式的值为零。推论2：若行列式的某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值为零。即第k行第t行=0性质4：=+若行列式的某一行（列）中所有元素都是两个元素的和，则此行列式等于两个行列式的和。即+=例如：=+性质5：×k+=把行列式的某一行（列）所有元素乘以k加到另一行（列）对应元素上，行列式的值不变。即证：=+=【例（补）】计算行列式下三角解性质1=【例1】计算行列式解×2=2080【例（补）】计算行列式解：所求行列式为n阶行列式×2【例2

6、】计算行列式解：×1×1×1【例（补)】解方程…解：=0解得：【例3】计算行列式其中x≠000解00本节课主要概念：=n!项的代数和，每一项是行列式中不同行不同列的n个元素的乘积其中均为n级排列定理1·3n阶行列式的一般项也可写为：行列式的主要性质：值相等。性质1行列式D与其转置性质2互换行列式的某两行（列），行列式的值变号。推论行列式中有两行（列）完全相同，则其值为零。性质3行列式中某一行（列）的公因子可提到行列式符号的前面。推论1：若行列式的某一行（列）中所有元素全为零，则此行列式的值为零。推论2：若行列式的某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值为零。性质4若行列式的某一行（列）中所

7、有元素都是两个元素的和，则此行列式等于两个行列式的和。性质5把行列式的某一行（列）所有元素乘以k加到另一行（列）对应元素上，行列式的值不变。