阶行列式线性代数ppt课件.ppt

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1、§2.2n阶行列式一、全排列及其逆序数问题把n个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？定义把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列（或排列）.n个不同的元素的所有排列的种数，通常用Pn表示.由引例P33216.同理Pn(n1)(n2)321n!.n排列的逆序数我们规定各元素之间有一个标准次序,n个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.定义在一个排列iiiii中，若数12tsnii则称这两个数组成一个逆序.ts例如排列32514中，逆序32514逆序逆序

2、定义一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.例如排列32514中，00132514故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.1逆序数为3排列的奇偶性逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列.计算排列逆序数的方法方法1分别计算出排在1,2,,n1,n前面比它大的数码之和即分别算出1,2,,n1,n这n个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数.方法2分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求

3、排列的逆序数.例1求排列32514的逆序数.解在排列32514中,3排在首位,逆序数为0;2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;5的前面没有比5大的数,其逆序数为0;1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;3251401031于是排列32514的逆序数为t010315.例2计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.1217986354217986354解010013445t54431001018此排列为偶排列.2nn

4、1n2321n1解nn1n2321n2tn1n221nn1,2当n4k,4k1时为偶排列；当n4k2,4k3时为奇排列.二、n阶行列式的定义为了给出n阶行列式的定义，我们先来研究三阶行列式的结构。三阶行列式的定义为aaa111213Da21a22a23a11a22a33a12a23a31a13a21a32aaaaaaaaaaaa313233132231112332122133

5、说明（1）三阶行列式共有6项，即3!项．（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的下标排列．例如aaa列标排列的逆序数为132132t312112,偶排列正号aaa列标排列的逆序数为112332t132101,奇排列负号,aaa111213ta21a22a23(1)a1p1a2p2a3p3.aaa3132332定义由n个数组成的n阶行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积t的代数和(1)a1p1a2p2

6、anpn.aaa11121naaa21222n记作Daaan1n2nn简记作det(aij).数aij称为行列式det(aij)的元素．其中ppp为自然数1，2，，n的一个排列，12nt为这个排列的逆序数．aaa11121naaa21222nDaaan1n2nn1tp1p2pnaaa1p12p2npnp1p2pn说明1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;2、n阶行列式是n!项的代数和;3、

7、n阶行列式的每项都是位于不同行、不同列n个元素的乘积;4、一阶行列式aa不要与绝对值记号相混淆;aaat5、1p12p2npn的符号为1.例1计算对角行列式0001002003004000解分析展开式中项的一般形式是a1p1a2p2a3p3a4p4若p14a1p0,所以p1只能等于4,1从而这个项为零，同理可得p23,p32,p41即行列式中不为零的项为aaaa.1423324100010020t43211123424.03004000aaa11121n0a

8、a例2计算上三角行列式222n00ann解分析展开式中项的一般形式是a1p1a2p2anpn.pn,pn1,pn3,p2,p1,nn1n321所以不为零的项只有a11a22ann.aaa11121n0aat12n222n1aaa1122nn00anna11a22ann.12340421例3D?0056000812340421Daaaa1458