n阶行列式及行列式性质

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1、一、全排列及其逆序二、n阶行列式的定义三、小结第二节n阶行列式一、全排列及其逆序1.概念的引入引例用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？问题2.定义把个不同的元素排成一列，叫做这个元素的全排列（或排列）.个不同的元素的所有排列的种数，通常用表示.由引例同理定义在n个不同元素的任一个排列中，如果其中两个元素的先后次序与标准次序不同，那么就称这两个元素构成了一个逆序．元素之间有多种方法，n个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.3.排列的逆序32514逆序逆序逆序例如排列32514中，这里仅仅是规定，你也可以给出其他的规定，总之在规定之下与规

2、定不同的序列就有了一个汉字来描述它…...例如排列32514中，32514逆序数为31故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.定义一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.计算排列逆序数的方法方法分别计算出排在前面比它大的数码之和即分别算出这个元素的逆序数，这n个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数.逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列.排列的奇偶性例1求排列32514的逆序数.解在排列32514中,3排在首位,逆序数为0;2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;5的前面没有比5大的数,其逆序数为0;32514于是排列3251

3、4的逆序数为1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;排列:32514例2计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.解当时为偶排列；当时为奇排列.解当为偶数时，排列为偶排列，当为奇数时，排列为奇排列.二、n阶行列式的定义1.概念的引入三阶行列式说明（1）三阶行列式共有项，即项．（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的下标排列．例如列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为偶排列奇排列2.定义设有个数排成行列的数表作出表中位于不同行不同列的个数的乘积并带上符号得到形如

4、是这个排列的逆序数，形如(1)式的项共有！个，的项，其中为自然数的排列所有这些项的和称为阶行列式，记作简记为其中数是行列式的元.说明1.行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;2.阶行列式是项的代数和;3.阶行列式的每项都是位于不同行、不同列个元素的乘积;4.一阶行列式不要与绝对值记号相混淆;5.行列式的本质为数或代数式;6.对角线法则只适用于2阶和3阶行列式.例3证明对角行列式证明(1)是显然的,下面证(2).若记则依行列式定义例如例4计算上三角行列式展开式中项的一般形式是因而展开式中不为零的项只有解若则所以

5、只有同理可得同理可得下三角行列式注由例4我们可以直接得出例3中（1）的结果．例5设证明证由行列式定义得由于所以故例6已知解含的项有两项,即对应于2排列具有奇偶性.3计算排列逆序数常用的方法.1个不同的元素的所有排列种数为三、小结4行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的.5阶行列式共有项，每项都是位于不同行、不同列的个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定.定义1设行列式的性质性质1行列式与它的转置行列式相等.说明行列式中行与列具有同等的地位。性质2行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此

6、行列式.证推论1行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．推论2行列式的某一行（列）中所有元素为零，则该行列式等于零．推论3设A为n阶方阵，k为数，则性质3若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.则D等于下列两个行列式之和：证由行列式的定义性质4交换行列式的两行（列），行列式变号.即推论4如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.性质5行列式中如果有两行（列）元素对应成比例，则此行列式为零．证明互换相同的两行，有性质６把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式值不变．例如证利用行列式的性质

7、进行计算计算行列式常用方法利用行列式的第i行的k倍加到第j行，行列式的值不变，把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．例例1解分析：此行列式的特点是每一行的元素之和相等，有这种特点的行列式的计算可以考虑把后面各列加到第一列中，然后提取第一列个元素的公因子。把第2，3，4列各元素分别加到第一列上式行列式第1行的（-1）倍分别加到第2，3，4行得例2其中n>2.解第2行与第n行成比例，故说明把行列式的某一行（列）的k倍加到其余各行（列）是常用的方法之一。例3解分析此行列式的特点是相邻两行对应元素要么差1要么相等，这类行列式可以考虑依次把上一行的（-1）倍

8、加到下一行去，即把第（i-1)行的（-1）倍加到第(