n阶行列式性质与展开定理

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1、行列式第二章n阶行列式行列式性质与展开定理克拉默（Cramer）法则应用举例8/22/20211第一节n阶行列式8/22/20212行列式（Determinant）是线性代数中的一个最基本、最常用的工具，最早出现于求解线性方程组.它被广泛地应用于数学、物理、力学以及工程技术等领域.了解：关于行列式8/22/20213设二元线性方程组用消元法知：当时，（1）方程组(1)有解,且把由四个数排成两行两列,并定义为数的式子,叫做二阶行列式.数称为行列式的元素，元素第一个下标称为行标，表明该元素位于第i行；第二个下标称为列标，表明该元素位于第

2、j列.+-------运算符主对角线一、二阶与三阶行列式1、基本概念行列式是一个数8/22/20214由二阶行列式的定义，得：称为方程组（1）的系数行列式Example2便于表示、记忆和推广求解二元线性方程组由于Solution:（1）用行列式形式表示方程组的解8/22/20215类似地，定义三阶行列式+-计算（定义）规则称为对角线规则（或沙流氏规则）.Example3计算三阶行列式=-5+12-2-5+8+3=11Solution:1、基本概念8/22/20216二、n阶行列式用递归的方法来定义n阶行列式.由n2个元素aij(i,

3、j=1,2,…,n)排成n行n列，称为n阶行列式.数行数与列数相等特点？1、基本概念在(2)式中，a11,a22,…,ann所在的对角线称为行列式的主对角线.8/22/20217M11M12M13Definition1在n阶行列式D中，将aij所在的第i行第j列划去后，余下的元素按原相对位置构成的一个n-1阶行列式，称为aij的余子式，记作Mij.称Aij=(-1)i+jMij，称为元素aij的代数余子式.二、n阶行列式8/22/20218Definition2当n=1时，定义一阶行列式,若定义了n-1(n≥2)阶行列式，则定义n阶

4、行列式为Dn=a11A11+a12A12+…+a1nA1n也称(3)为n阶行列式关于第一行的展开式.数aij称为行列式Dn的第i行第j列元素.Note:当n≥4时，对角线法则不再适用Dn的计算.如4阶行列式：按对角线法共有8项代数和；4!=24项.但按定义，共有n阶行列式？二、n阶行列式8/22/20219Example4证明n阶下三角行列式(当i

5、假设得Dn=a11a22…ann特别地，主对角行列式二、n阶行列式例子8/22/202110Example5证明n阶行列式Proof:对n作数学归纳法，n=2时，结论显然成立,假设结论对n-1阶行列式成立，则由定义得根据归纳假设得特别地，二、n阶行列式例子8/22/202111第二节行列式性质与展开定理8/22/202112行列式的计算是一个重要却很麻烦的问题.n阶行列式共有n!项，计算它需要n!(n-1)次乘法,直接用定义计算行列式几乎是不可能的.因此，有必要进一步讨论行列式的性质，利用这些性质简化行列式的计算.说明1：一、行列式

6、按行（或列）展开定理一般说来，低阶行列式的计算比高阶行列式的计算更简便，所以，是否可用低阶行列式表示高阶行列式，行列式定义已表示n阶行列式可按第一行展开.8/22/202113此式说明三阶行列式也可以关于第一列展开.说明2：三阶行列式的另几种表达8/22/202114此式说明三阶行列式也可以关于第一列展开.Theorem1行列式等于它的某一行（或列）的元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即或可用数学归纳法证明之一、行列式按行（或列）展开定理8/22/202115利用Th.1可降低行列式的阶数，便于计算.Example6计算Solut

7、ion:按第一列展开=12二、行列式展开实例8/22/202116记(6)(7)称行列式DT为行列式D的转置(Transposition)行列式.Definition3将D中的行与列互换也记D’Property1行列式与它的转置行列式相等.Proof由Pro.1可知，在行列式中，行与列具有相等的地位.因而，行列式对其行具有的性质，对列也成立.三、行列式的性质8/22/202117Property1的证明Proof:对行列式的阶数用数学归纳法.阶数为2，结论显然成立.假设阶数为n–1时，结论成立.当阶数为n时，Dn=a11A11+a1

8、2A12+…+a1nA1n按定义（按第一行展开）得由归纳假设按Th.1，上式右端是按第一列展开式，即因此，三、行列式的性质8/22/202118Example7Solution:计算上三角行列式（i>j时，aij=0）利用Pro.1和