n阶行列式的性质与计算.ppt

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1、§2.3n阶行列式的性质与计算一、行列式的性质性质1行列式与它的转置行列式相等.行列式称为行列式的转置行列式.记性质2互换行列式的两行（列）,行列式变号.说明行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.例如推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.证明互换相同的两行，有性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式.推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．性质４行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行

2、列式为零．证明性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.则D等于下列两个行列式之和：例如性质６把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．例如利用行列式的上述性质，往往可以使行列式的计算简化，但我们知道阶数越低的行列式越容易计算。比如二阶行列式比三阶行列式要容易计算得多。因此，我们自然地提出，能否把行列式转化为一些阶数较低的行列式来计算？为此先给出余子式和代数余子式的概念。在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做元素的余子

3、式，记作叫做元素的代数余子式．例如二、余子式与代数余子式引理一个阶行列式，如果其中第行所有元素除外都为零，那末这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即．例如定理３行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即证三、行列式按行（列）展开法则推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即例１四、行列式的计算计算行列式常用方法：利用运算　　　把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．解例2计算阶行列式解将第都加到第一列得例3证用数学归纳法例4

4、证明范德蒙德(Vandermonde)行列式n-1阶范德蒙德行列式例5计算行列式解五、行列式的乘法公式定理设A，B是两个n阶矩阵则矩阵A，B乘积的行列式等于行列式的乘积即推论1若A为分块对角矩阵其中都是方阵则方阵A的行列式等于主对角线上各个子块的行列式的乘积即推论2若A为分块三角矩阵其中都是方阵则方阵A的行列式等于主对角线上各个子块的行列式的乘积即(行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立).计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列

5、式，从而算得行列式的值．六、小结行列式的6个性质