n阶行列式、性质与展开定理

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1、行列式第二章n阶行列式行列式性质与展开定理克拉默(Cramer)法则应用举例9/28/20211第一节n阶行列式9/28/20212行列式(Determinant)是线性代数中的一个最基本、最常用的工具,最早出现于求解线性方程组.它被广泛地应用于数学、物理、力学以及工程技术等领域.了解:关于行列式9/28/20213设二元线性方程组用消元法知:当时,(1)方程组(1)有解,且把由四个数排成两行两列,并定义为数的式子,叫做二阶行列式.数称为行列式的元素,元素第一个下标称为行标,表明该元素位于第i行;第二个下标称为列标,表明该元素位于第j列.+----

2、---运算符主对角线一、二阶与三阶行列式1、基本概念行列式是一个数9/28/20214由二阶行列式的定义,得:称为方程组(1)的系数行列式Example2便于表示、记忆和推广求解二元线性方程组由于Solution:(1)用行列式形式表示方程组的解9/28/20215类似地,定义三阶行列式+-计算(定义)规则称为对角线规则(或沙流氏规则).Example3计算三阶行列式=-5+12-2-5+8+3=11Solution:1、基本概念9/28/20216二、n阶行列式用递归的方法来定义n阶行列式.由n2个元素aij(i,j=1,2,…,n)排成n行n列

3、,称为n阶行列式.数行数与列数相等特点?1、基本概念在(2)式中,a11,a22,…,ann所在的对角线称为行列式的主对角线.9/28/20217M11M12M13Definition1在n阶行列式D中,将aij所在的第i行第j列划去后,余下的元素按原相对位置构成的一个n-1阶行列式,称为aij的余子式,记作Mij.称Aij=(-1)i+jMij,称为元素aij的代数余子式.二、n阶行列式9/28/20218Definition2当n=1时,定义一阶行列式,若定义了n-1(n≥2)阶行列式,则定义n阶行列式为Dn=a11A11+a12A12+…+a

4、1nA1n也称(3)为n阶行列式关于第一行的展开式.数aij称为行列式Dn的第i行第j列元素.Note:当n≥4时,对角线法则不再适用Dn的计算.如4阶行列式:按对角线法共有8项代数和;4!=24项.但按定义,共有n阶行列式?二、n阶行列式9/28/20219Example4证明n阶下三角行列式(当i

5、式例子9/28/202110Example5证明n阶行列式Proof:对n作数学归纳法,n=2时,结论显然成立,假设结论对n-1阶行列式成立,则由定义得根据归纳假设得特别地,二、n阶行列式例子9/28/202111第二节行列式性质与展开定理9/28/202112行列式的计算是一个重要却很麻烦的问题.n阶行列式共有n!项,计算它需要n!(n-1)次乘法,直接用定义计算行列式几乎是不可能的.因此,有必要进一步讨论行列式的性质,利用这些性质简化行列式的计算.说明1:一、行列式按行(或列)展开定理一般说来,低阶行列式的计算比高阶行列式的计算更简便,所以,是

6、否可用低阶行列式表示高阶行列式,行列式定义已表示n阶行列式可按第一行展开.9/28/202113此式说明三阶行列式也可以关于第一列展开.说明2:三阶行列式的另几种表达9/28/202114此式说明三阶行列式也可以关于第二行展开.Theorem1行列式等于它的某一行(或列)的元素与其对应的代数余子式的乘积之和,即或可用数学归纳法证明之一、行列式按行(或列)展开定理注9/28/202115利用Th.1可降低行列式的阶数,便于计算.Example6计算Solution:按第一列展开=12二、行列式展开实例9/28/202116记(6)(7)称行列式DT为

7、行列式D的转置(Transposition)行列式.Definition3将D中的行与列互换也记D’Property1行列式与它的转置行列式相等.Proof由Pro.1可知,在行列式中,行与列具有相等的地位.因而,行列式对其行具有的性质,对列也成立.三、行列式的性质9/28/202117Property1的证明Proof:对行列式的阶数用数学归纳法.阶数为2,结论显然成立.假设阶数为n–1时,结论成立.当阶数为n时,Dn=a11A11+a12A12+…+a1nA1n按定义(按第一行展开)得由归纳假设按Th.1,上式右端是按第一列展开式,即因此,三、

8、行列式的性质9/28/202118Example7Solution:计算上三角行列式(i>j时,aij=0)利用Pro.1

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