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1、第三章行列式第一节n阶行列式的定义1二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的.二阶行列式对角线法（1）二阶行列式共有2!项，即2项．（2）每项都是位于不同行不同列的两个元素的乘积．（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列的两个元素的下标排列．2(1)三阶行列式的计算.列标行标3二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的.对角线法则二阶与三阶行列式的计算42.全排列及其奇偶性引例把3个不同的数字1、2、3排成一列，共有多少种排法？显然，左边位置上可以从1、2、3三个数字中任选一个，所以有三种放法；中间位置上只能从剩下的
2、两个数字中选一个，所以有2种放法；右边位置上只能放最后剩下的一个数字，所以只有1种放法．因此共有3×2×1=6种放法.这6种不同的排法是123，231，312，132，213，321.5对于n个不同的元素，也可以提出类似的问题，把n个不同的元素排列成一列，共有几种不同的排法？把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列（简称排列）.一般,n个自然数1,2,…,n的一个排列可以记作其中是某种次序下的自然数1,2,…,n.n个不同元素的所有排列的种数，通常用Pn表示.由引例结果可知仿照引例的推导方式我们容易得到6在任意n阶排列中，当
3、某两个数大数排在小数的前面，就称这两个数构成一个逆序。一个n阶排列所有逆序的总数称为这个排列的逆序数，记作7计算排列逆序数的方法逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列.排列的奇偶性分别计算出排在1,2,…,n-1前面比它们大的数的个数分别为m1,m2…,mn-1,则m1+m2+…+mn-1即为这个排列的逆序数.即t(i1i2…in)=m1+m2+…+mn-18例1(1)求排列32514的逆序数.解在排列32514中,1的前面比1大的数有3个；2的前面比2大的数有1个;3的前面比3大的数有0个;4的前面比4大的数有
4、1个;故t(32514)=3+1+0+1=5,该排列是奇排列。9解当时为偶排列；当时为奇排列.10解当为偶数时，排列为偶排列，当为奇数时，排列为奇排列.11定义在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换．将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．例如对换的定义12定理1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．证明设排列为对换与除外，其它元素的逆序数不改变.对换与排列的奇偶性的关系13当时，的逆序数不变;经对换后的逆序数增加1,经对换后的逆序数不变，的逆序数减少1.因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.设排
5、列为当时，现来对换与14a依次与b1,b2,…，bm.b交换共m+1次，然后b与bm,…,b2,b1交换，共交换m次，两次共交换2m+1次，故奇偶性改变。15推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.证明由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数,而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此知推论成立.例：同为偶数。对换次数为2次，16三阶行列式说明（1）三阶行列式共有项，即项．（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．三、n阶行列式的定义17（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的
6、下标排列．例如列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为偶排列奇排列18定义1920说明1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;2、阶行列式是项的代数和;3、阶行列式的每项都是位于不同行、不同列个元素的乘积;4、一阶行列式不要与绝对值记号相混淆;5前面的符号为（－1）t21例1计算对角行列式分析展开式中项的一般形式是从而这个项为零，所以只能等于,同理可得解22即行列式中不为零的项为例2计算上三角行列式23分析展开式中项的一般形式是所以不为零的项只有解24同理可得下三角行列式同理可得下三角
7、行列式25特别地，对角行列式26定理2阶行列式也可定义为其中t为行标排列的逆序数.证明按行列式定义有27记对于D中任意一项总有且仅有中的某一项与之对应并相等;反之,对于中任意一项也总有且仅有D中的某一项与之对应并相等,于是D与中的项可以一一对应并相等,从而28定理3阶行列式也可定义为例1试判断和是否都是六阶行列式中的项.解下标的逆序数为所以是六阶行列式中的项.其中是两个阶排列，t为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和29下标的逆序数为所以不是六阶行列式中的项.30例2在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号.解431265的逆序数为所以
8、前边应带正号.31行标排列341562的逆序数为列标排列234165的逆序数为所以前边应带正号.32矩阵与行列式的有何区别?思考题解答矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，
