《n阶方阵的行列式》PPT课件

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1、第二章矩阵理论基础§2.5矩阵分块法§2.3可逆矩阵§2.2n阶(方阵的)行列式§2.1矩阵的运算§2.4矩阵的秩与矩阵的等价标准形§2.6线性方程组解的存在性定理.CRAMER法则1§2.2n阶(方阵的)行列式主要内容:一、行列式的定义二、行列式的性质三、行列式的展开定理2上两式相加求得(设分母不为零)同理可求得用消元法求解引例:一、行列式的定义3定义二阶行列式:则如何工整简单便于记忆地表示这两个解?4三阶行列式按某种运算规则得到的一个数记为定义设由9个数排成的3行3列的数表5说明:共3!=6项,正负项各占半,每项均为三个元素乘积(不

2、同行不同列)例２求多项式解：6问空间解析中的三个向量是否共面？由高等数学,三个向量共面的充要条件是混合积为零。所以它们不共面，即异面。例３7把二阶行列式与三阶行列式加以推广得应有不同列元素的乘积．定义1设有排成作出不同行不同列的并冠以符号称为8定义：剩下的元素按原次序排成的例如：9定义2设方阵1)2)即方阵的行列式等于第一行元素与其对应的代数余子式乘积的和．例如求二阶，三阶行列式10例１证明对角行列式（其中主对角线上的元素不全为零而其他元素全为零的行列式）证明：11证明下三角行列式例２证明：12二、行列式的性质为什么要研究行列式的性质?

3、性质1行列式与它的转置行列式相等。说明行列式的性质凡是对行成立的，对列也成立，反之亦然。13计算下三角行列式注意！例114例如性质2互换行列式的两行（列）,行列式变号。再如，证明15推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。例如16性质3行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式．推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。例如17性质４行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．例如18推论如果行列式有一行（列）为零，则行列式等于零。例如19性质５若行列式的某一行（列）

4、的元素都是两数之和，则可把这两个数拆开，其它元素不变写成两个行列式的和。例如20性质６把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去,行列式的值不变。三角形，然后计算行列式的值。只用这种变换，把行列式化为例２21只用变换或只用变换一定能把行列式化为上(下)三角形.行列式的值不变.22则例３23证明2425例４26例５计算n阶行列式解：2728例６爪形行列式29思考题：计算下列行列式：30行列式的值等于其任一行(列)的各元素与其对应性质９的代数余子式乘积之和，即：证明：三．行列式的展开定理3132定理１行列式的

5、值等于其任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和；行列式的任一行(列)的各元素与另一行（列）相应元素的代数余子式乘积之和等于零．33例1计算按第3行展开34求例235例３主对角线以及主对角线以下元素全为１，其它元素全为零，所有元素的代数余子式之和．（以前的考试题）解：＝０同理其它行的元素对应的代数余子式之和也为零所以所有元素对应的代数余子式之为１36范德蒙德(Vandermonde)行列式例3从最后一行开始,每行减去上一行的倍.37按最后一列展开再提取每列的公因子383940(1)按范德蒙行列式的结果求出x3的系数;(2)按最后

6、一列展开求出x3的系数(与所求可能差符号)(3)比较二者应相等.例４求解：提示41例５计算下列n阶行列式解:按第一列展开4243推论:行列式中任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和为零,即:证明：第i行第j行=044方阵的行列式由n阶方阵A的元素所构成的行列式，叫做方阵A的行列式，记作或运算规律设A，B均为n阶方阵(性质８，行列式的乘法定理)45问：对（３）举例说明设则：思考：如果为奇数阶的反对称矩阵，则46设A是奇数阶方阵，且证明证例1647设求：求解：例1748伴随矩阵矩阵的转置矩阵由

7、A

8、的各元素的代数余子

9、式所构成称为A的伴随矩阵。思考：且有（在下一节将起到很重要的作用）49设解：设A为ｎ阶方阵，，证明：证明:设例18例1950学习重点：行列式的定义起源于解线性方程组，但解线性方程组后来被矩阵理论所代替，再也不用行列式来求解线性方程组了。行列式的价值主要体现在理论推导上，其中重要的有三大定理：(1)行列式的展开定理;(2)行列式的乘法定理;（性质８）(3)Cramer法则（第六节）本节的学习重点是掌握行列式的计算。在计算方法上重点掌握化三角形法和递推法。对行列式的两个等价定义，只需有一个粗略的了解，对行列式的计算不要过分地追求计算技巧。5

10、1作业:52思考题:1.A为10阶方阵,则:2.计算:3.已知满足:求534.设则5.设则必有54发展简史：行列式起源于求解线性方程组。用行列式的方法解含有两个、三个和四个未知数的联立线性方程，可能是由Ma