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1、1线性代数与空间解析几何哈工大数学系代数与几何教研室国家精品课2学时:64+32学时成绩:100分平时:30分，期末:70分.《线性代数与解析几何》序言3线性代数的应用:有很多实际问题,都可以转成线性代数的方法去解决.在工程学、计算机科学、物理学、数学、生物学、密码学、经济学和统计学中都有很多应用.线性代数的重要性：线性代数与微积分是大学数学基础课.无论这样评价其重要性都不为过。而学好这些数学基础课程，将受益终生.4一、教学内容线性代数(抽象)—为了解决多变量问题形成的学科.（代数为几何提供了便利的研究工具,几何为代数提供了直观想象的空
2、间).解析几何(直观)相互支撑相互促进5二、课程特点内容抽象概念多，符号多计算原理简单但计算量大证明简洁但技巧性强应用广泛6掌握三基——基本概念(定义、符号)基本理论(定理、公式)基本方法(计算、证明)提前预习——体会思路多动手，勤思考——深入体会思想方法培养——自学能力，独立分析问题能力和独立解决问题的能力三、学习方法7《线性代数与空间解析几何》第一章n阶行列式哈工大数学系代数与几何教研室王宝玲2007.98本章主要内容行列式的定义行列式的性质行列式的计算Cramer法则9设二元线性方程组为1.1.1二阶和三阶行列式其中行列式是一种算
3、式,是根据线性方程组求解的需要引进的.也是一个基本的数学工具,有很多工程技术和科学研究问题的解决都离不开行列式.1.1n阶行列式10对方程组用加减消元法求出解:此解不易记忆，因此有必要引进新的符号“行列式”来表示解．如果定义二阶行列式如下(对角线法则）：+11当系数行列式D0时,则方程组有唯一解,其解可表示为:12解则方程组的解为例1求解方程组由于13如果定义三阶行列式如下(对角线法则）：那么对三元一次方程组在系数行列式D0时,方程组有唯一解,其解可表示为:14其中例215问题1：怎样定义n阶行列式?定义由1,2,…,n组成的有序数组称
4、为一个n阶(全)排列,一般记为:例如自然数1,2,3的排列共有六种.例如12…n是一个n阶排列,叫自然排列.1.1.2全排列的逆序数、对换阶排列共有种n16在一个排列中,如果一个大数排在小数的前面,则称这两个数构成一个逆序.一个排列的逆序总数称为逆序数,表示为如果为偶数,则称为偶排列.为奇数,则称为奇排列.定义如果17例3因为所以23541是一个奇排列.例418对换:在一个排列中互换两个数位置的变动(其它数不动).对换改变排列的奇偶性.需要进行2s+1次相邻对换.证(1)相邻对换(2)不相邻对换定理1.1所以对换改变排列的奇偶性.19奇
5、排列s个偶排列t个(1,2)对换(1,2)对换证全部n(2)阶排列中奇偶排列各占一半.推论设个阶排列中有s(t)个奇(偶)排列n20用排列观点总结三阶行列式:1.1.3n阶行列式的定义21定义记一阶行列式此行列式可简记或n阶行列式定义:22由个元素组成;为n!项代数和;每项为取自不同行列的n个元素之积;行按自然顺序取时,每项符号由列标排列的奇偶性决定.归纳如下：注用定义只能计算一些简单的行列式.23证明对角形行列式,上(下)三角形行列式都等于其主对角元素的乘积,即例524以下三角行列式为例来证明.先决定所有可能的非零项其次决定非零项的
6、符号证25其中*表示此处元素可以是任意的数.例626这个行列式的值一般并不等于当n=4,5时:当n=6,7时:问题2:如何决定下面一般项的符号?注意27根据这个结论,也可以把行列式表示为:行列式还有其它的定义方式一般行列式不用定义来求值主要利用行列式性质求值注28定义为D的转置行列式．(转置)行列互换值不变,即，称设1.2n阶行列式的性质例如性质1表明关于行的性质对列也成立.性质129(换法)换行(列)换号,即性质230两行(列)同值为零,即推论31(倍法)把行列式的某一行(列)的所有元素同乘以数k,等于用数k乘以这个行列式,即性质33
7、2如果行列式有两行(列)成比例，则该行列式为零．推论1例如如果行列式某一行(列)有公因子k时,则该公因子k可以提到行列式符号的外面．推论233(分拆)如果行列式某行(列)的所有元素都是两数之和，则该行列式为两个行列式之和,即性质43435例如36(消法)将行列式的某一行(列)的各元素乘以常数加到另一行(列)的对应元素上去,则行列式的值不变,即性质537总结行列式性质性质1性质2推论性质3推论性质4性质5换行(列)变号.两行(列)同，值为零.某行(列)乘数k=kD.两行(列)成比例,值为零.D可按某行(列)分拆成两行列式之和.D某行(列)
8、乘数k加至另行(列),行列式值不变.(转置)(换法)(倍法)(消法)38计算例7解通过行变换将D化为上三角行列式3940设有四阶行列式:则展开式中x4的系数是().(A)2;(B)2;(C)1;(D)1
