第一章N阶行列式

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1、第一章行列式行列式是一个重要的数学工具．它广泛应用于理、工、农、医、经济等很多领域。在线性代数中，行列式更是一种不可或缺的重要工具.本章主要介绍行列式的定义、性质、计算及其在求解线性方程组中的应用——Cramer（克莱姆）法则.§1.1行列式定义一、数域定义1.1设P是含有0和1的一个数集，若P中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍在P中，则称P为一个数域．如果数集P中任意两个数作某一运算后的结果任在P中，则称P对这个运算封闭。因此数域的定义也可简单叙述为：含有0和1且对加法、减法、乘法、除法（除数不为0）封闭的数集称为数域.全体有理数组成的

2、集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都是数域，分别称为有理数域、实数域、复数域依次用Q、R、C来记。全体整数组成的集合不是数域，因为任意两个整数的商不一定是整数.要指出的是所有的数域都包含有理数域。这是因为如果P是一个数域，则1在P中且由于P对加法封闭，所以1+1=2，2+1=3，，n+1全在P中，即P包含全体自然数；又因0在P中且P对减法封闭，于是0-n=-n在P中,所以P包含全体整数；因为任意一个有理数都可表为两个整数的商，再由P对除法的封闭性知P包含全体有理数。即任何一个数域都包含有理数域.今后本教材中所论及的数都是指某一固定数域中的

3、数，文中一般不再特别加以说明.二、排列为了给出n阶行列式的定义，先介绍n级排列的概念．定义1.2由自然数1，2，…，n组成的全排列称为n级排列．记作i1i2…inn级排列共有n!个.n级排列中任意两个数，如果大数排在小数之前，则称这两个数构成一个逆序，否则称为顺序.一个n级排列i1i2…in的逆序总数称为此排列的逆序数，记作t（i1i2…in）．逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列．因t（12…n）=0，所以排列12…n是偶排列。我们称此排列为自然排列.在计算排列的逆序数时，为了不重复和漏掉，可从排列的第一个数开始计算它与后面

4、的数构成的逆序数，然后再将这些数的逆序数相加即可得排列的逆序数.例1求下列排列的逆序数并确定其奇偶性．（1）54213（2）14253（3）n…321（4）135…246…解（1）在排列54213中，数5与后面的数构成4个逆序，数4与后面的数构成3个逆序，数2与后面的数构成1个逆序，数1与后面的数没有构成逆序，数3后面没有数.因此t（54213）=4+3+1+0+0=8，该排列为偶排列.（2）t（14253）=0+2+0+1+0=3，该排列为奇排列.（3）t（n…321）=（n-1）+（n-2）+…+2+1=或者根据该排列中任何两个数组成的数对都构

5、成逆序，计算出该排列所以可能组成的数对的个数，它就是排列的逆序数，即t（n…321）==当n=4k或n=4k＋1（k=0，1，2，…）时此排列为偶排列；当n=4k＋2或n=4k＋3（k=0，1，2…）时此排列为奇排列.（4）t（135…(2n-1)246…(2n)）=1+2+…+（n-1）=其奇偶性讨论同（3）中排列的奇偶性讨论.n级排列中互换两数的位置称为一次对换.若互换的是相邻两数，则称作相邻对换.注意到例1中排列（2）是由排列（1）互换5和1而得到的．结果（1），（2）两个排列具有不同的奇偶性.一次对换是否一定改变排列的奇偶性呢？对此有以下的

6、结论：定理1.1一次对换改变排列的奇偶性.证（1）相邻对换情形．设n级排列…jk…互换j，k两数，经相邻对换后排列变成…kj…其中“…”表示那些在变换中不动的数。显然，这一变化只使j，k两数间的“序”发生变化：若它们原来为逆序，则变换后为顺序；若原来为顺序，则变换后为逆序．而它们与其余任意数间的序都保持不变．变换前后两个排列的逆序数只是多1或少1．从而相邻一次对换改变排列的奇偶性.由此还可得出：作奇数次相邻对换改变排列的奇偶性；作偶数次相邻对换不改变排列的奇偶性.（2）不相邻对换情形设n级排列…ji1i2…isk…直接互换j，k两数后排列变成…ki

7、1i2…isj…这一结果可通过相邻对换后得到。首先将原排列中的数k依次与其后的i1…isj作s+1次相邻对换变后为…i1i2…isjk…再将数k依次与其前面的is…i1作s次相邻对换后得…ki1i2…isj…这一结果是经过奇数次（2s＋1次）相邻对换所得，因此排列的奇偶性改变.推论在全部（n！）个n级排列中（n≥2），奇排列、偶排列各占一半.证设全部n级排列中，奇排列、偶排列个数分别为s和t．因为将每个奇排列的任两个数作对换，即可得到s个不同的偶排列，从而s≤t；同理可得t≤s．于是s=t，即奇偶排列各占一半.容易证明（证略）：任意n级排列都可经有

8、限次对换变成自然排列.三、n阶行列式定义定义1.3将个数排成n行n列，记D=它表示所有位于不同行及不同列的n个元素的乘积的