§1.3n阶行列式定义

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1、§1.3n阶行列式定义11.3.1、概念的引入三阶行列式说明（1）三阶行列式共有项，即项．（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．2（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的下标排列．例如列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为偶排列奇排列31.3.2、n阶行列式的定义定义1.3.145说明1、行列式是一种特定的数值或表达式；2、阶行列式是项的代数和;3、阶行列式的每项都是位于不同行、不同列个元素的乘积;4、一阶行列式不要与绝对值记号相混淆;5、的符号为6例1计算对角行列式分析展开式中项的一般形式是从而这个项为零，所以只能等于,

2、同理可得解7即行列式中不为零的项为例2计算上三角行列式8分析展开式中项的一般形式是所以不为零的项只有解9例310同理可得下三角行列式11例4证明对角行列式12证明第一式是显然的,下面证第二式.若记则依行列式定义证毕13例5设证明证由行列式定义有1415由于所以故16定理1.3.1n阶行列式也可以定义为其中s是行标排列q1q2…qn的逆序数。且每一项都是取自不同行不同列的n个元素的乘积，这与定义一致，因此只需证明每一项的符号也满足行列式定义的要求。证明17其中s是排列q1q2…qn的逆序数,t是排列p1p2…pn的逆序数。当行标排列q1q2…qn

3、经过若干次对换变为1,2,…,n时，列标由1,2,…,n变为排列p1p2…pn，因为一个排列经过若干次对换变为1,2,…,n的对换次数的奇偶性与原排列逆序数的奇偶性相同。所以q1q2…qn的逆序数,与p1p2…pn的逆序数有相同的奇偶性。既有所以定理得证。18定理1.3.2阶行列式也可定义为其中是两个级排列，为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和.例1试判断和是否都是六阶行列式中的项.解下标的逆序数为所以是六阶行列式中的项.19下标的逆序数为所以不是六阶行列式中的项.20例6在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号.解431265的逆序数为所以前边

4、应带正号.21行标排列341562的逆序数为列标排列234165的逆序数为所以前边应带正号.22例7用行列式的定义计算23解24(1)已知(2)证明在全部阶排列中,奇偶排列各占一半.例825解(1)含的项有两项,即对应于2627(2)证设在全部阶排列中有个奇排列,个偶排列,现来证.将个奇排列的前两个数对换,则这个奇排列全变成偶排列,并且它们彼此不同,所以若将个偶排列的前两个数对换,则这个偶排列全变成奇排列,并且它们彼此不同,于是有故必有281、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的.2、阶行列式共

5、有项，每项都是位于不同行、不同列的个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定.1.3.3、小结294、行列式的三种表示方法其中是两个级排列，为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和.N阶行列式展开后有n！项，太多不好算。实际中得简化！怎么简化？首先要搞清行列式的性质。30