阶行列式的定义2

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1、湖北经济学院线性代数多媒体课程第二章行列式Cramer法则线性代数第一节教学要求1、熟练掌握二阶、三阶行列式的定义和对角线法则.2、理解全排列及其逆序数的概念，会求排列的逆序数.3、了解n阶行列式的定义方法,会用定义计算特殊形式的n阶行列式.4、理解行列式的余子式和代数余子式。用消元法解二元线性方程组一、二阶行列式第一节行列式的定义方程组的解为由方程组的四个系数确定.由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表定义即列标行标主对角线副对角线对角线法则二阶行列式的计算若记对于二元线性方程组系数行列式则二元线性方程组

2、的解为注意分母都为原方程组的系数行列式.例1解二、三阶行列式定义记（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.注意红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号．三阶行列式的计算——对角线法则2.三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.说明1.对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．例２解按对角线法则，有例3解方程左端如果三元线性方程组的系数行列式利用三阶行列式求解三元线性方程组若记或得得则三元线性方程组的解为:例4解线性方程组解由于方程组的系数行列式同理可得故方

3、程组的解为:例如(1)余子式与代数余子式三.n阶行列式的一种定义在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做元素的余子式，记作叫做元素的代数余子式．如如(2)n阶行列式可定义为思考题思考题解答解设所求的二次多项式为由题意得得一个关于未知数的线性方程组,又得故所求多项式为三、n阶行列式的定义引例用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解123123百位3种放法十位1231个位1232种放法1种放法种放法.共有1、全排列及其逆序数问题定义把正整数1~n组成的不重复的每一种有确定次序的

4、数列，叫做级全排列（或排列）.个不同的元素的所有排列的种数，通常用表示.由引例同理在一个排列中，若数则称这两个数组成一个逆序.例如排列32514中，定义我们规定各元素之间有一个标准次序,n个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.排列的逆序数32514逆序逆序逆序定义一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.记为：例如排列32514中，32514逆序数为31故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.计算排列逆序数的方法方法1分别计算出排在前面比它大的数码之和即分别算出这个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排

5、列的逆序数.逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列.排列的奇偶性从第二个元素开始，分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.（或者从最后一个元素开始数）方法2例5求排列32514的逆序数.解在排列32514中,3排在首位,逆序数为0;32514于是排列32514的逆序数为5的前面没有比5大的数,其逆序数为0;1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;2的前面比2大的数只有一个3

6、,故逆序数为1;在排列32514中,例6计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.解此排列为偶排列.解当时为偶排列；当时为奇排列.解当为偶数时，排列为偶排列，当为奇数时，排列为奇排列.逆序数的性质2.n阶行列式的定义观察二阶、三阶行列式的特点Ⅰ.二阶行列式共有2项，即2！项；Ⅱ.每项都是位于不同的行不同的列两个元素的乘积。Ⅲ.每项的符号都取决于项两个元素的下标的排列，正号和负号各占一半。三阶行列式说明Ⅰ.三阶行列式共有项，即项；Ⅱ.每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积；Ⅲ.每项的正负号都取决于三个元素的下标排列，

7、正号和负号各占一半．例如列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为偶排列奇排列n阶行列式的定义特别地规定一阶行列式为判断下列乘积是否为四阶行列式的项：说明1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的.2、阶行列式是项的代数和.3、阶行列式的每项都是位于不同行、不同列个元素的乘积.5、一阶行列式不要与绝对值记号混淆.4、的符号为所有这样的排列为：而t(35124）=5，t(35142）=6，t(35214）=6，t(35241）=7，t(35412）=7，t(35421）=835

8、124、35142、35214、35241、35412、35421例8用行列式的定义计算行列式展开式中项的一般形式是从而这个项为零，同理可得解即行列式中不为零的项为展开式中项的一般形式是否则这个项为零。所以只能等于,同理可得解即行列式中不为零的项为例9计算上三角行列式分析展开式中项的一般形式是所以不为零的项只有解练习：同理可得下三角行列式例10