2016版高中数学人教A版必修四文档：第二章章末优化总结 Word版含答案

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1、章末优化总结,　　)　　　　　　　平面向量的概念与性质理解向量、共线向量、相等向量、单位向量、向量的模、夹角等概念．突显向量“形”的特征是充分运用向量并结合数学对象的几何意义解题的重要前提．关于平面向量a，b，c有下列三个命题：①若b⊥c，则(a＋c)·b＝a·b；②若a＝(1，k)，b＝(－2，6)，a∥b，则k＝－3；③非零向量a和b满足

2、a

3、＝

4、b

5、＝

6、a－b

7、，则a与a＋b的夹角为60°.其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)[解析]　①因为b⊥c，所以b·c＝0，所以(a＋c)·b＝a·b＋c·b＝a·b；②a∥b，且a≠0⇒b＝λa⇒＝⇒k＝－3；③

8、a

9、

10、＝

11、b

12、＝

13、a－b

14、⇒a，b，a－b构成等边三角形，a与a＋b的夹角应为30°.所以真命题为①②.[答案]　①②　　　　　　　平面向量的线性运算1．向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫作向量的线性运算，主要是运用它们的运算法则、运算律，解决三点共线、两线段平行、线段相等、求点的坐标等问题．2．理解向量的有关概念[如平行向量(共线向量)、相等与相反向量、平面向量基本定理、单位向量等]及其相应运算的几何意义，并能灵活应用基向量、平行四边形法则、三角形法则等，是求解有关向量线性运算问题的基础．如图，在△ABC中，＝，＝，BQ与CR相交于点I，AI的延长线与边BC交于点P.(1)用和分别表

15、示和；(2)如果＝＋λ＝＋μ，求实数λ和μ的值；(3)确定点P在边BC上的位置．[解]　(1)由＝，可得＝＋＝－＋，又＝，所以＝＋＝－＋.(2)将＝－＋，＝－＋，代入＝＋λ＝＋μ，则有＋λ＝＋μ，即(1－λ)＋λ＝μ＋(1－μ).所以解得(3)设＝m，＝n.由(2)，知＝＋，所以＝－＝n－＝n－＝＋＝m＝m－m，所以解得所以＝，即＝2.即点P是BC上靠近点C的三等分点．　　　　　　　平面向量的数量积求平面向量的数量积的方法有两个：一个是根据数量积的定义，另一个是根据坐标．定义法是a·b＝

16、a

17、

18、b

19、·cosθ，其中θ为向量a，b的夹角；坐标法是a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)时，a·

20、b＝x1x2＋y1y2.利用数量积可以求长度，也可判断直线与直线的关系(相交的夹角以及垂直)，还可以通过向量的坐标运算转化为代数问题解决．(1)设单位向量m＝(x，y)，b＝(2，－1)．若m⊥b，则

21、x＋2y

22、＝________．(2)已知两个单位向量a，b的夹角θ为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝________．[解析]　(1)因为单位向量m＝(x，y)，则x2＋y2＝1.①若m⊥b，则m·b＝0，即2x－y＝0.②由①②解得x2＝，所以

23、x

24、＝，

25、x＋2y

26、＝5

27、x

28、＝.(2)法一：因为b·c＝0，所以b·[ta＋(1－t)b]＝0，即ta·b＋(1－t)b2＝

29、0.又因为

30、a

31、＝

32、b

33、＝1，θ＝60°，所以t＋1－t＝0，所以t＝2.法二：由t＋(1－t)＝1知向量a，b，c的终点A、B、C共线，在平面直角坐标系中设a＝(1，0)，b＝，则c＝.把a、b、c的坐标代入c＝ta＋(1－t)b，得t＝2.[答案]　(1)　(2)2　　　　　　　平面向量的应用平面向量的应用主要体现在两个方面，一是在平面几何中的应用，向量的加法运算和平行，数乘向量和相似，距离、夹角和数量积之间有着密切联系，因此利用向量方法可以解决平面几何中的相关问题．二是在物理中的应用，主要是解决力、位移、速度等问题．如图所示，G为△AOB的中线OM的中点，过点G作直线分别交OA，OB

34、于点P，Q，设＝m，＝n，试推断＋是否为定值．[解]　设＝a，＝b，则＝＝(＋)＝a＋b.所以＝－＝a＋b－ma＝a＋b.＝－＝n－m＝nb－ma.因为与共线，所以＝λ(λ∈R)，即a＋b＝λ(nb－ma)．所以消去λ得－m＝－⇒－1＝－.所以＋＝4为定值．质量m＝2.0kg的木块在平行于斜面向上的拉力F＝10N的作用下，沿斜面角θ＝30°的光滑斜面向上滑行

35、s

36、＝2.0m的距离，如图所示(g取9.8m/s2)．(1)分别求物体所受各力在这一过程中对物体做的功；(2)在这一过程中，物体所受各力对物体做的功的代数和是多少；(3)求物体所受合外力对物体所做的功，并指出它与物体所受各个力对物体做

37、功的代数和之间有什么关系．[解]　(1)木块受三个力的作用，重力G，拉力F和支持力FN，如题图所示，拉力F与位移s方向相同，所以拉力对木块所做的功为WF＝F·s＝

38、F

39、

40、s

41、cos0°＝20(J)．支持力对木块所做的功为W＝FN·s＝0.重力G对物体所做的功为WG＝G·s＝

42、G

43、

44、s

45、cos(90°＋θ)＝－19.6(J)．(2)物体所受各力对物体做功的代数和为W＝WF＋W＋WG＝0.4(J)．(3)物体所受合外力的大小