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《2016版高中数学人教A版必修四文档:第二章章末优化总结 Word版含答案》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、章末优化总结, ) 平面向量的概念与性质理解向量、共线向量、相等向量、单位向量、向量的模、夹角等概念.突显向量“形”的特征是充分运用向量并结合数学对象的几何意义解题的重要前提.关于平面向量a,b,c有下列三个命题:①若b⊥c,则(a+c)·b=a·b;②若a=(1,k),b=(-2,6),a∥b,则k=-3;③非零向量a和b满足
2、a
3、=
4、b
5、=
6、a-b
7、,则a与a+b的夹角为60°.其中真命题的序号为________.(写出所有真命题的序号)[解析] ①因为b⊥c,所以b·c=0,所以(a+c)·b=a·b+c·b=a·b;②a∥b,且a≠0⇒b=λa⇒=⇒k=-3;③
8、a
9、
10、=
11、b
12、=
13、a-b
14、⇒a,b,a-b构成等边三角形,a与a+b的夹角应为30°.所以真命题为①②.[答案] ①② 平面向量的线性运算1.向量的加法、减法和数乘向量的综合运算,通常叫作向量的线性运算,主要是运用它们的运算法则、运算律,解决三点共线、两线段平行、线段相等、求点的坐标等问题.2.理解向量的有关概念[如平行向量(共线向量)、相等与相反向量、平面向量基本定理、单位向量等]及其相应运算的几何意义,并能灵活应用基向量、平行四边形法则、三角形法则等,是求解有关向量线性运算问题的基础.如图,在△ABC中,=,=,BQ与CR相交于点I,AI的延长线与边BC交于点P.(1)用和分别表
15、示和;(2)如果=+λ=+μ,求实数λ和μ的值;(3)确定点P在边BC上的位置.[解] (1)由=,可得=+=-+,又=,所以=+=-+.(2)将=-+,=-+,代入=+λ=+μ,则有+λ=+μ,即(1-λ)+λ=μ+(1-μ).所以解得(3)设=m,=n.由(2),知=+,所以=-=n-=n-=+=m=m-m,所以解得所以=,即=2.即点P是BC上靠近点C的三等分点. 平面向量的数量积求平面向量的数量积的方法有两个:一个是根据数量积的定义,另一个是根据坐标.定义法是a·b=
16、a
17、
18、b
19、·cosθ,其中θ为向量a,b的夹角;坐标法是a=(x1,y1),b=(x2,y2)时,a·
20、b=x1x2+y1y2.利用数量积可以求长度,也可判断直线与直线的关系(相交的夹角以及垂直),还可以通过向量的坐标运算转化为代数问题解决.(1)设单位向量m=(x,y),b=(2,-1).若m⊥b,则
21、x+2y
22、=________.(2)已知两个单位向量a,b的夹角θ为60°,c=ta+(1-t)b,若b·c=0,则t=________.[解析] (1)因为单位向量m=(x,y),则x2+y2=1.①若m⊥b,则m·b=0,即2x-y=0.②由①②解得x2=,所以
23、x
24、=,
25、x+2y
26、=5
27、x
28、=.(2)法一:因为b·c=0,所以b·[ta+(1-t)b]=0,即ta·b+(1-t)b2=
29、0.又因为
30、a
31、=
32、b
33、=1,θ=60°,所以t+1-t=0,所以t=2.法二:由t+(1-t)=1知向量a,b,c的终点A、B、C共线,在平面直角坐标系中设a=(1,0),b=,则c=.把a、b、c的坐标代入c=ta+(1-t)b,得t=2.[答案] (1) (2)2 平面向量的应用平面向量的应用主要体现在两个方面,一是在平面几何中的应用,向量的加法运算和平行,数乘向量和相似,距离、夹角和数量积之间有着密切联系,因此利用向量方法可以解决平面几何中的相关问题.二是在物理中的应用,主要是解决力、位移、速度等问题.如图所示,G为△AOB的中线OM的中点,过点G作直线分别交OA,OB
34、于点P,Q,设=m,=n,试推断+是否为定值.[解] 设=a,=b,则==(+)=a+b.所以=-=a+b-ma=a+b.=-=n-m=nb-ma.因为与共线,所以=λ(λ∈R),即a+b=λ(nb-ma).所以消去λ得-m=-⇒-1=-.所以+=4为定值.质量m=2.0kg的木块在平行于斜面向上的拉力F=10N的作用下,沿斜面角θ=30°的光滑斜面向上滑行
35、s
36、=2.0m的距离,如图所示(g取9.8m/s2).(1)分别求物体所受各力在这一过程中对物体做的功;(2)在这一过程中,物体所受各力对物体做的功的代数和是多少;(3)求物体所受合外力对物体所做的功,并指出它与物体所受各个力对物体做
37、功的代数和之间有什么关系.[解] (1)木块受三个力的作用,重力G,拉力F和支持力FN,如题图所示,拉力F与位移s方向相同,所以拉力对木块所做的功为WF=F·s=
38、F
39、
40、s
41、cos0°=20(J).支持力对木块所做的功为W=FN·s=0.重力G对物体所做的功为WG=G·s=
42、G
43、
44、s
45、cos(90°+θ)=-19.6(J).(2)物体所受各力对物体做功的代数和为W=WF+W+WG=0.4(J).(3)物体所受合外力的大小
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