2016版高中数学人教A版必修四文档：第二章§3.1数乘向量 Word版含答案

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1、§3　从速度的倍数到数乘向量3．1　数乘向量,　　)1．问题导航(1)若λa＝0(λ∈R)，则λ＝0是否成立？(2)实数与向量的数乘、数乘之间的和差运算等(比如化简3(3a＋5b)－(a－8b－c)＋3b)与多项式的运算有什么相同之处？(3)若向量a，b不共线，且λa＝μb，则λ，μ的值如何？为什么？2．例题导读P83例1.通过本例学习，学会向量的线性运算．试一试：教材P87习题2－3A组T1你会吗？P84例2，例3.通过此两例的学习，学会利用向量共线的判定与性质解决向量共线问题．试一试：教材P87习题2－3A组T2你会吗？1．数乘向量(1)一般地，

2、实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa.它的长度为

3、λa

4、＝

5、λ

6、

7、a

8、，它的方向：当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0，方向任意．(2)几何意义λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长(

9、λ

10、>1)或缩短(

11、λ

12、<1)为原来的

13、λ

14、倍．(3)运算律设a，b为向量，λ，μ为实数．①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb；④特别地(－λ)a＝－(λa)；λ(a－b)＝λa－λb．(4)线性运算向量的加法、减法和实数与向量积的

15、综合运算，通常叫作向量的线性运算(或线性组合)．(5)表示a方向上的单位向量．2．向量共线定理判定定理a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线性质定理若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得b＝λa1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)实数与向量数乘，结果仍是一个向量．(　　)(2)共线向量定理中，条件a≠0可以去掉．(　　)(3)λa的方向与a的方向一致．(　　)(4)对于任意实数m和向量a，b若ma＝mb，则a＝b.(　　)解析：(1)正确．根据实数与向量数乘的定义，可知实数与向量数乘，结

16、果仍是一个向量．(2)错误．若条件a≠0去掉，当b≠0，a＝0时，λ不存在．(3)错误．当λ＞0时，λa的方向与a的方向一致；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0，方向任意．(4)错误．当m＝0时，ma＝mb，a与b可以不相等．答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×2．在四边形ABCD中，若＝－，则此四边形是(　　)A．平行四边形　　　　　　B．菱形C．梯形D．矩形解析：选C.因为＝－，所以AB∥CD，且AB＝CD，所以四边形ABCD为梯形．3．已知向量a与b不共线，向量c＝3a－b，d＝6a－2b，则向量c与d的关系是_

17、_______．(填“共线”或“不共线”)解析：d＝6a－2b＝2(3a－b)＝2c，所以向量c与d共线．答案：共线4.＝________．解析：＝(2a＋8b)－(4a－2b)＝a＋b－a＋b＝2b－a.答案：2b－a1．从两个角度看数乘向量(1)代数角度①λ是实数，a是向量，它们的积仍然是向量；②λa＝0的条件是λ＝0或a＝0.(2)几何角度①当

18、λ

19、＞1时，有

20、λa

21、＞

22、a

23、，这意味着表示向量a的有向线段在原方向(λ＞1)或反方向(λ＜－1)上伸长到

24、a

25、的

26、λ

27、倍；②当0＜

28、λ

29、＜1时，有

30、λa

31、＜

32、a

33、，这意味着表示向量a的有向线段在原方向

34、(0＜λ＜1)或反方向(－1＜λ＜0)上缩短到

35、a

36、的

37、λ

38、倍．2．对数乘向量的运算律的两点说明(1)数乘向量运算律满足的条件：三种运算律中的λ与μ都是实数．(2)对运算律λ(a＋b)＝λa＋λb的几点说明①当a，b中有一个等于0，或λ＝0或1时，等式显然成立；②若a，b都不等于0且λ≠1，λ≠0，当λ＞0且λ≠1时，如图，＝a，＝b，＝λa，＝λb，＝a＋b，＝λa＋λb，由作法知∥，所以

39、

40、＝λ

41、

42、，所以

43、

44、＝λ

45、

46、，且与方向也相同，故有λ(a＋b)＝λa＋λb成立．当λ＜0时，同理可证．综上，λ(a＋b)＝λa＋λb成立．3．正确理解向量共线的

47、判定定理和性质定理(1)向量共线的判定定理和性质定理实际上是由实数与向量的积推出的．两个定理分别从正、反两方面加以论述，即当a≠0时，a∥b⇔b＝λa.(2)定理中，之所以限定a≠0，是由于若a＝b＝0，虽然λ仍然存在，但λ不唯一，定理的正反两个方面不成立．(3)由于零向量的方向不确定，在处理有关向量共线问题时，一般规定零向量与任何一个向量平行．a，b都不是零向量时，若a＝λb，则λ＞0时，a与b同向；λ＜0时，a与b反向．(4)若a，b不共线，且λa＝μb，则必有λ＝μ＝0.(5)向量共线的判断(证明)可把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示

48、，从而判断共线；向量共线的应用是存在实数，使两向量可以互相表示，利用向量共线的条件列式，通过计算得出结论．