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《2016版高中数学人教A版必修四文档:第二章§3.1数乘向量 Word版含答案》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、§3 从速度的倍数到数乘向量3.1 数乘向量, )1.问题导航(1)若λa=0(λ∈R),则λ=0是否成立?(2)实数与向量的数乘、数乘之间的和差运算等(比如化简3(3a+5b)-(a-8b-c)+3b)与多项式的运算有什么相同之处?(3)若向量a,b不共线,且λa=μb,则λ,μ的值如何?为什么?2.例题导读P83例1.通过本例学习,学会向量的线性运算.试一试:教材P87习题2-3A组T1你会吗?P84例2,例3.通过此两例的学习,学会利用向量共线的判定与性质解决向量共线问题.试一试:教材P87习题2-3A组T2你会吗?1.数乘向量(1)一般地,
2、实数λ与向量a的积是一个向量,记作λa.它的长度为
3、λa
4、=
5、λ
6、
7、a
8、,它的方向:当λ>0时,λa与a的方向相同;当λ<0时,λa与a的方向相反;当λ=0时,λa=0,方向任意.(2)几何意义λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长(
9、λ
10、>1)或缩短(
11、λ
12、<1)为原来的
13、λ
14、倍.(3)运算律设a,b为向量,λ,μ为实数.①λ(μa)=(λμ)a;②(λ+μ)a=λa+μa;③λ(a+b)=λa+λb;④特别地(-λ)a=-(λa);λ(a-b)=λa-λb.(4)线性运算向量的加法、减法和实数与向量积的
15、综合运算,通常叫作向量的线性运算(或线性组合).(5)表示a方向上的单位向量.2.向量共线定理判定定理a是一个非零向量,若存在一个实数λ,使得b=λa,则向量b与非零向量a共线性质定理若向量b与非零向量a共线,则存在一个实数λ,使得b=λa1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)实数与向量数乘,结果仍是一个向量.( )(2)共线向量定理中,条件a≠0可以去掉.( )(3)λa的方向与a的方向一致.( )(4)对于任意实数m和向量a,b若ma=mb,则a=b.( )解析:(1)正确.根据实数与向量数乘的定义,可知实数与向量数乘,结
16、果仍是一个向量.(2)错误.若条件a≠0去掉,当b≠0,a=0时,λ不存在.(3)错误.当λ>0时,λa的方向与a的方向一致;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0,方向任意.(4)错误.当m=0时,ma=mb,a与b可以不相等.答案:(1)√ (2)× (3)× (4)×2.在四边形ABCD中,若=-,则此四边形是( )A.平行四边形 B.菱形C.梯形D.矩形解析:选C.因为=-,所以AB∥CD,且AB=CD,所以四边形ABCD为梯形.3.已知向量a与b不共线,向量c=3a-b,d=6a-2b,则向量c与d的关系是_
17、_______.(填“共线”或“不共线”)解析:d=6a-2b=2(3a-b)=2c,所以向量c与d共线.答案:共线4.=________.解析:=(2a+8b)-(4a-2b)=a+b-a+b=2b-a.答案:2b-a1.从两个角度看数乘向量(1)代数角度①λ是实数,a是向量,它们的积仍然是向量;②λa=0的条件是λ=0或a=0.(2)几何角度①当
18、λ
19、>1时,有
20、λa
21、>
22、a
23、,这意味着表示向量a的有向线段在原方向(λ>1)或反方向(λ<-1)上伸长到
24、a
25、的
26、λ
27、倍;②当0<
28、λ
29、<1时,有
30、λa
31、<
32、a
33、,这意味着表示向量a的有向线段在原方向
34、(0<λ<1)或反方向(-1<λ<0)上缩短到
35、a
36、的
37、λ
38、倍.2.对数乘向量的运算律的两点说明(1)数乘向量运算律满足的条件:三种运算律中的λ与μ都是实数.(2)对运算律λ(a+b)=λa+λb的几点说明①当a,b中有一个等于0,或λ=0或1时,等式显然成立;②若a,b都不等于0且λ≠1,λ≠0,当λ>0且λ≠1时,如图,=a,=b,=λa,=λb,=a+b,=λa+λb,由作法知∥,所以
39、
40、=λ
41、
42、,所以
43、
44、=λ
45、
46、,且与方向也相同,故有λ(a+b)=λa+λb成立.当λ<0时,同理可证.综上,λ(a+b)=λa+λb成立.3.正确理解向量共线的
47、判定定理和性质定理(1)向量共线的判定定理和性质定理实际上是由实数与向量的积推出的.两个定理分别从正、反两方面加以论述,即当a≠0时,a∥b⇔b=λa.(2)定理中,之所以限定a≠0,是由于若a=b=0,虽然λ仍然存在,但λ不唯一,定理的正反两个方面不成立.(3)由于零向量的方向不确定,在处理有关向量共线问题时,一般规定零向量与任何一个向量平行.a,b都不是零向量时,若a=λb,则λ>0时,a与b同向;λ<0时,a与b反向.(4)若a,b不共线,且λa=μb,则必有λ=μ=0.(5)向量共线的判断(证明)可把两向量用共同的已知向量来表示,进而互相表示
48、,从而判断共线;向量共线的应用是存在实数,使两向量可以互相表示,利用向量共线的条件列式,通过计算得出结论.
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