2016版高中数学人教A版必修四文档：第二章§3.1数乘向量 训练案知能提升 Word版含答案

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1、,　　[学生用书单独成册])[A.基础达标]1．已知向量a，b满足：

2、a

3、＝3，

4、b

5、＝5，且a＝λb，则实数λ＝(　　)A.B．C．±D．±解析：选C.因为

6、a

7、＝3，

8、b

9、＝5，a＝λb，所以

10、a

11、＝

12、λ

13、

14、b

15、，即3＝5

16、λ

17、，所以

18、λ

19、＝，λ＝±.2.如图所示，已知＝2，＝a，＝b，＝c，则下列等式中成立的是(　　)A．c＝b－aB．c＝2b－aC．c＝2a－bD．c＝a－b解析：选A.＝＋＝＋3＝＋3(－)，所以＝－，即c＝b－a.3．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2(k∈R)与

20、向量n＝e2－2e1共线，则(　　)A．k＝0B．k＝1C．k＝2D．k＝解析：选D.将k的值逐一代入检验，当k＝0，1和2时m与n均不共线，当k＝时，m＝－e1＋e2，n＝－2e1＋e2，此时n＝2m，故m，n共线．4．设M是平行四边形ABCD的对角线的交点，O为任意一点，则＋＋＋＝(　　)A.B．2C．3D．4解析：选D.＋＋＋＝＋＋＋＋＋＋＋，而＋＝0，＋＝0，故＋＋＋＝4.5．在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，又＝t，则实数t的值为(　　)A.B．C.D．解析：选A.由题意可得＝－＝＋－＝(－)＝，

21、又＝t，所以t＝.6．已知x，y是实数，向量a，b不共线，若(x＋y－1)a＋(x－y)b＝0，则x＝________，y＝________．解析：由(x＋y－1)a＋(x－y)b＝0，且向量a，b不共线，得解得答案：　7．在△ABC所在平面上有一点，满足＋＋＝，则△PAB与△ABC的面积之比是________．解析：＋＋＝＝－，即＝－2，所以＝，所以＝.答案：1∶38．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________．解析：由向量加法的平行四边形法则，得＋＝.又O是AC的中点，所

22、以AC＝2AO，所以＝2，所以＋＝2.又＋＝λ，所以λ＝2.答案：29．如图，在△ABC中，D，E分别为AC，AB边上的点，＝＝，记＝a，＝b，求证：＝(b－a)．证明：因为＝＝(－)＝(－a－b)，＝＝－b，所以＝－＝－a－b＋b＝(b－a)．10．已知非零向量e1，e2，a，b满足a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2.(1)若e1与e2不共线，a与b共线，求实数k的值；(2)是否存在实数k，使得a与b不共线，e1与e2共线？若存在，求出k的值，否则说明理由．解：(1)由a＝λb，得2e1－e2＝λke1＋λe2

23、，而e1与e2不共线，所以⇒k＝－2.(2)不存在．若e1与e2共线，则e2＝λe1，有因为e1，e2，a，b为非零向量，所以λ≠2且λ≠－k，所以a＝b，即a＝b，这时a与b共线，所以不存在实数k满足题意．[B.能力提升]1．O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的(　　)A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：选C.因为＝＋λ(＋)，λ∈[0，＋∞)，所以＝λ(＋)，λ∈[0，＋∞)，即与＋共线，而＋是以，为邻边的平行四边形的对角

24、线表示的向量，而对角线与BC的交点是中点，所以P的轨迹一定通过△ABC的重心．2．对于△ABC内部一点O，存在实数λ，使得＋＝λ(＋)成立，则△OBC与△ABC的面积之比是(　　)A．1∶2B．1∶1C．1∶3D．2∶3解析：选A.如图，设D，E分别是AB，AC的中点，以OA，OB为邻边作▱OAGB，以OA，OC为邻边作▱OAFC，则＋＝＝2，＋＝＝2，因为＋＝λ(＋)，所以＝λ，所以点D，O，E三点共线，所以点O在直线DE上，又因为D，E分别为AB，AC的中点，所以△OBC与△ABC的面积之比为1∶2.3．已知

25、＝，若＝λ，则λ＝________．解析：如图，因为＝，所以点P在线段P1P2上，且＝.所以与反向，且＝，所以＝－，故λ＝－.答案：－4．在平行四边形ABCD中，＝e1，＝e2，＝，＝，则＝________(用e1，e2表示)．解析：因为＝＝e2，所以＝－e2，因为＝，＋＝＝－＝e2－e1，所以＝(e2－e1)，所以＝＋＝(e2－e1)－e2＝－e1＋e2.答案：－e1＋e25．已知O，A，M，B为平面上四点，且＝λ＋(1－λ)(λ∈R，λ≠1，λ≠0)．(1)求证：A，B，M三点共线；(2)若点B在线段AM上，

26、求实数λ的范围．解：(1)证明：因为＝λ＋(1－λ)，所以＝λ＋－λ，－＝λ－λ，即＝λ，又λ∈R，λ≠1，λ≠0且，有公共点A，所以A，B，M三点共线．(2)由(1)知＝λ，若点B在线段AM上，则，同向且

27、

28、＞

29、

30、(如图所示)．所以λ＞1.6．(选做题)在△ABC中，点D和E分别在BC，AC上，且＝，＝，AD与BE交于R，证明：＝.证明：由A，D，R三点共线，可得＝λ＋