连续时不变线性控制系统稳定判据文献综述

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1、文献综述连续时不变线性控制系统稳定判据　一、前言部分自动控制系统最重要的特征是稳定性。所谓稳定性是指在各种外部的和内部的不利因素的影响下，系统能够保持预定工作状态的能力的一种度量。稳定性问题实质上是控制系统自身的属性问题。在大多数情况下，稳定是系统能够正常运行工作的前提。系统的运动稳定性可分为基于输入和输出的描述的稳定性和基于状态空间描述的稳定性。这里，前者是基于端口特性的描述，而后者是基于系统内部结构特性的描述。在经典控制理论中，对于单输入单输出（SISO）线性系统的稳定性定义为：设线性系统处于零初始状态，给系统施加一个理想单位脉冲，若系统在该扰动作用下的脉冲响应随着时间的推移而趋

2、近于零，即，则该线性系统是稳定的。其相应的判别准则有：1.系统特征方程的根是否全部位于平面的左半平面；2.各种代数稳定性判据；3.频域稳定性判据。上述各种稳定性判据的特点是不需要求解方程，而直接由方程的系数或频率特性曲线得出有关系统稳定性的结论，故称为直接判据。上述的直接方法适用于线性定常系统。1892年，俄罗斯科学家李雅普诺夫在他的博士论文“运动稳定性的一般问题”中提出了著名的李雅普诺夫稳定性定理。到目前为止，李雅普诺夫稳定性理论仍然是控制系统稳定性判别的通用方法，并且适用于各种类型的系统，当然也适用于线性定常系统。当前，李雅普诺夫稳定性定理已经称为现代控制理论的一个非常重要的基础

3、组成部分。二、主题部分稳定性指的是系统在平衡状态下受到扰动后系统自由运动的性质。系统的稳定性是相对于系统的平衡状态而言的。直观上，系统的稳定性问题是指：偏离平衡状态的受扰运动能否只依靠系统内部的结构因素，或者使之限制在平衡状态的某个有限邻域内，或者最后使之回到平衡状态。因此，稳定性问题是系统自身的一种动态属性，与外部输入无关。（一）系统运动的稳定性概念1.外部稳定性（有界输入，有界输出稳定性）对于零初始化条件的因果系统，如果存在一个固定的有限常数及一个标量，使得对于任意的，当系统的输入满足时，所产生的输出满足，则称该因果系统是外部稳定的，也就是有界输入—有界输出稳定的，简记为BIBO

4、稳定。时不变情况下的外部稳定性定理：对于零初始条件的定常系统，设初始时刻，单位脉冲响应矩阵为，传递函数矩阵为，则系统为BIBO稳定的充分必要条件为，存在一个有限常数k，使的每一个元满足或者为真有理分式函数矩阵，且其每一个元传递函数的所有2处在左半复平面。2.内部稳定性考虑如下的线性时变系统设系统的外输入，设初始状态是有界的。系统的状态解为（1）式中，为时变系统的状态转移矩阵。如果系统的初始状态引起的状态响应（1）满足：（2）则称系统是内部稳定的或渐进稳定的。若系统是定常的，则，令，这时假定系统矩阵具有两两相异的特征值，则为的特征值进一步可得式中，显然，当矩阵A的一切特征值满足则式（2

5、）成立。3.内部稳定性和外部稳定性的关系内部稳定性关心的是系统内部状态的自由运动，这种运动必须满足渐近稳定条件，而外部稳定性是对系统输入量输出量的约束，这两个稳定性之间的联系必然通过系统的内部状态表现出来，这里仅就线性定常系统加以讨论。定理1线性定常系统如果是内部稳定的，则系统一定是外部稳定的，即BIBO稳定的。定理2线性定常系统如果是BIBO稳定的，系统未必是内部稳定的。定理3线性定常系统如果是完全能控、完全能观测的，则内部稳定性与外部稳定性是等价的。4.李雅普诺夫函数由经典力学理论可知，对于一个震动系统，当系统总能量（正定函数）连续减小（这意味着总能量对时间的导数必定是负定的），

6、直到平衡状态为止，该震动系统是稳定的。李雅普诺夫第二法从能量的观点出发，但建立在更为普遍的情况之上。如果系统还有一个渐近稳定的平衡状态，则当其运动到平衡状态的邻域时，系统内部的能量将随着时间的增长而衰减，直到在平衡状态达到极小值为止。然而对于一个纯数学系统，还没有一个定义“能量函数”的简便方法。为了克服这个困难，李雅普诺夫引进了一个虚构的能量函数，称为李雅普诺夫函数。李雅普诺夫函数定义如下。设为任意标量函数。式中，为系统的状态向量。如果具有如下性质：Ⅰ.是正定的（反映能量的大小）；Ⅱ.是连续的（反映能量的变化趋势）；Ⅲ.当时，（反映能量的分布）。那么就称函数是一个李雅普诺夫函数。（二

7、）李雅普诺夫意义下运动稳定性的一些基本概念1.平衡状态的稳定性研究系统的稳定性，常限于研究没有外输入作用的系统。通常，这类系统称为自治系统。自治系统一般由下述方程表示：（3）式中，为状态向量，为n维函数向量。对于线性系数，可表示为的线性向量函数，或习惯表示成（4）对于线性定常系统，方程（3）又可以表示成（5）假定方程（3）或（4）或（5）是满足解的唯一性条件的，则可以将其由初始条件引起的运动表示为（6）它是t的函数，而导致运动的原因是以为初始时刻的初始状态