求解绝对值不等式问题的几种特殊策略

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1、求解绝对值不等式问题的几种特殊策略解含有绝对值的不等式的关键是想法把它转化为不含绝对俏的不等式，常见的解法有以下几种：1、利用绝对值的定义例1：解不等式l<

2、2x-l

3、<5.解：原不等式于：(I)广j"或

4、2x_1<0[l<2x-l<5[l<-(2x-l)<5由(I)得：l

5、-2上二^,由绝对值的意义可知兰丄<0,亦即(%-1)(%+2)<0,

6、2+兀

7、2+xx+2所以一2<兀<

8、1,即原不等式的解集为(-2,1).评注：利用绝对值的意义求解有些不等式时可另辟蹊径，化繁为简.例3.解不等式Jl-6x+9八2分析：不等式左边可化掉无理式。解：原不等式等价于l3x_1l-2/.3x-l<-2或加_*2.'.x<-—3或xA1*1'原不等式的解集为I32、利用绝对值的性质例1：解不等式x2-3x-1

9、即:广3兀—IvO①x2-3x+2>0②fr2-3r-4<3解：原不等式等价于.2—3由①得一1<兀<4由②得*〉2或xv1.・・原不等式的解集为：{x

10、-l

11、n£2

12、3x+2

13、>

14、2x+3

15、・解：将原不等式两边平方为：9x2+12%+4>4x2+12x+9B

16、Jx2>1・・・原不等式的解集为:{%卜〉1或兀<一1}.例2、解不等式lx+1l~M>0解：原不等式变为：用+1卜冈等价于仗+“，即2x+1>0・・.原不等式的解集为I幻4、利用分段讨论法(即零点分段法)例1：解不等式

17、x+2

18、+

19、x

20、>4.解：当x<-2时，不等式化为：-(x+2)-x>4.x<-3当一25x50时，不等式化为：兀+2—兀〉4・・・兀丘0当x>

21、0吋，x+2+x>4x>1综上所述，不等式的解集为：{兀

22、兀<一3,或兀>1}.例2.解不等式KT-

23、2兀+3

24、<1分析：如何去掉两个绝对值的符号？首先找出零点，第一个绝对值的式子的零点_3为5,第二个式子的零点为2,两个零点把数轴分成三段，故可分为三段讨论。解：原不等式变为:x--f或~x+5+2兀+3<13£--5x—5—2x—3-3<5x>5x>-9—或*55xx<-7或X.・.原不等式的解集为I注：利用此法解题

25、时要注意x的系数为正。5、利用绝对值的几何意义例1：解不等式卜一3

26、+卜+2

27、>5・解：如图所示，不等式卜一3

28、+卜+2

29、>5表示数轴距A(3)、B(-2)两点的距离之和大于5的点，方程x-3+x+2=5表示在数轴上距A、B两点的距离Z和等于5的点。・・・原不等式的解集为：肛<-2,或兀>3}.6、利用不等式组法〈即等价转化法〉例1：已知关于x的不等式

30、x+2

31、+

32、x-1

33、<6/有解，求a的取值范围。■h\aa03ay解：令y=x-2+]x-l则由上知y>3将原可不等式变为不等式组fy>3r~因

34、原不等式有解，如图，易得a〉3o例2：已知关于x的不等式

35、x-4

36、-

37、x-3

38、的解集为R,求a的取值范围。解：令y=x-4-x-3

39、,由上知-l

40、<

41、2兀_3

42、解画出x=

43、x+l

44、和儿=

45、2兀_3

46、的图像,如图所2示，求出他们的交点的横坐标分别是兀=土和x=43因为

47、x+l

48、<

49、2x-3

50、,所以原不等式的解是儿<力2的交点的横坐标,由图像知:原不等

51、式的解是r或….例2若不等式lx+ll>fcc对一切xeR恒成立，求实数£的取值范围.解析：在同一坐标系中分别画出函数y=l兀+1丨与y=d的图彖（如下图）,显然，要使不等式x+\>kx对一切XG/?fH成立，须OSEW1,即£的取值范围是[0,1].例3若不等式12兀-加IWI3X+6I恒成立，求实数加的取值范围.解析：在同一坐标系中分别画出函数y=l2x-加丨及y=l3兀+6丨（如下图），由于不等式2x-m1<13%+61恒成立，所以函数y=12x-讪的图象应总在函数y=l3%+6丨图象的卜•方

52、,因此函数y=l2x-m的图象也必须经过点（-2,0）,所以m=-4.vA/.V=l3x+6l•i/\//\//y=12x一mI\//\//\//\//过►-2Ox评注：运用数形结合的方法求解绝对值不等式问题，既宜观形象，又简单易行.8利用利用定比分点法例1解不等式x2-10).解：在数轴上取px=-2x,p=x2-1,p2=2ax,其中xeR使P为p^p2pp的内分点即可，这就顺利地去掉