二次函数中绝对值问题的求解策略

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1、二次函数中绝对值问题的求解策略二次函数是高中函数知识中一颗璀璨的“明珠”，而它与绝对值知识的综合，往往能够演绎出一曲优美的“交响乐”，故成为高考“新宠”。二次函数和绝对值所构成的综合题，由于知识的综合性、题型的新颖性、解题方法的灵活性、思维方式的抽象性，学习解题时往往不得要领，现从求解策略出发，对近年来各类考试中的部分相关考题，进行分类剖析，归纳出一般解题思考方法。一、适时用分类，讨论破定势分类讨论是中学数学中的重要思想。它往往能把问题化整为零，各个击破，使复杂问题简单化，收到化难为易，化繁为简的功效。例

2、1已知f(x)=x2+bx+c(b,cR),（1）当b<－2时，求证：f(x)在（－1，1）内单调递减。（2）当b<－2时，求证：在（－1，1）内至少存在一个x0，使得

3、f(x0)

4、≥.分析（1）当b<－2时，f(x)的对称轴在（－1，1）的右侧，那么f(x)在（－1，1）内单调递减。（2）这是一个存在性命题，怎么理解“至少存在一个x0”呢？其实质是能找到一个这样的x0，问题就解决了，不妨用最特殊的值去试一试。当x=0时，

5、f(0)

6、=

7、c

8、,

9、c

10、与的大小关系如何呢？对

11、c

12、进行讨论：（i）若

13、c

14、≥,

15、即

16、f(0)

17、≥，命题成立。（ii）若

18、c

19、<，取x0=－,则.故不论

20、c

21、≥还是

22、c

23、<,总存在x0=0或x0=－使得

24、f(x0)

25、≥成立。本题除了取x=－外，x还可取那些值呢？留给读者思考。二、合理用公式，灵活换视角公式

26、a

27、－

28、b

29、≤

30、a±b

31、≤

32、a

33、+

34、b

35、在处理含绝对值问题时的作用有时是不可替代的，常用于不等式放缩、求最值等，思路简洁、明快，解法自然、迅捷。例2已知f(x)=x2+ax+b的图象与x轴两交点的横坐标为x1，x2若

36、a

37、+

38、b

39、<1，求证：

40、x1

41、<1且

42、x2

43、<1.解由韦达定理，

44、得代入

45、a

46、+

47、b

48、<1，得

49、x1+x2

50、+

51、x1x2

52、<1，又

53、x1

54、－

55、x2

56、≤

57、x1+x2

58、.即

59、x1

60、(1+

61、x2

62、)<1+

63、x2

64、。又∵1+

65、x2

66、>0，∴

67、x1

68、<1.同理可得

69、x2

70、<1。例3函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若函数f(x)的图象与直线y=x和y=-x均无公共点，求证：（1）4ac－b2>1.（2）对一切实数x，恒有.分析（1）略。（2）由（1）可知与同号。三、机智赋特值，巧妙求系数变量在某一区域有某种结论成立时，可通过对题目结构特征的观察，由目标导向，赋予一系列特殊

71、的函数值来构建对应的系数关系，使抽象问题具体化，从而独辟蹊径，出奇制胜。例4函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),对一切x[－1,1],都有

72、f(x)

73、≤1，且g(x)=cx2+bx+a，求证：（1）x[－1,1]时，

74、2ax+b

75、≤4.（2）x[－1,1]时，

76、g(x)

77、≤2.证明（1）由题设条件，可得又由题意可知要证明时，

78、2ax+b

79、≤4，只要证明

80、±2a+b

81、≤4.同理可证

82、－2a+b

83、≤4.（2）

84、g(x)

85、=

86、cx2+bx+a

87、请读者仿照例4的方法解决下面一题：例5函数f(x)=ax2+b

88、x+c(a≠0)，已知

89、f(0)

90、≤1，

91、f(－1)

92、≤1,

93、f(1)

94、≤1.求证：对一切,都有分析借助恒等式,得

95、g(x)

96、=

97、ax+b

98、注意到,有,故有

99、g(x)

100、≤1+1=2.五、联想反证法，类比创条件对于一些数学问题，如果从正面思考较难，不妨尝试从反面入手，巧用逆向思维，比如借反证法来找到解决问题的途径。例7函数f(x)=x2+ax+b（a,bR），x[－1,1],求证：

101、f(x)

102、的最大值M≥.证明假设M<，则

103、f(x)

104、<,即令x=0,1,－1,分别代入上式，得①②③由②+③，得,与①矛盾。点

105、评通过假设结论不成立，创设了时，

106、f(x)

107、<恒成立这一常规而打开局面的有利条件，可谓“高招”！六、鸡尾酒疗法，相是益彰好每一种解法都不是万能的，如果把各种解题方法灵活地相互结合、渗透，那么不但能解决实际问题，而且思路开阔，有利于培养创造能力、提升数学品质。例8函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0），对一切，都有f(x)≤1，求证：对一切，都有f(x)≤7.分析函数y=

108、ax2+bx+c

109、(a≠0)在区间[p,q]上的最大值，由图象易知只能在x=p或x=q或处取得，于是由题意只需证明

110、f(－2)

111、≤7且

112、

113、f(2)

114、≤7且由已知

115、f(－1)

116、=

117、a+b－c

118、,

119、f(1)

120、=

121、a+b+c

122、,

123、f(0)

124、=

125、c

126、,

127、f(－2)

128、=

129、4a－2b+c

130、=

131、3f(－1)+f(1)－3f(0)

132、≤3

133、f(－1)

134、+

135、f(1)+3

136、f(0)

137、=3×1+1+3×1=7同理

138、f(2)

139、≤7.若,则由以上可知命题已证。若，则∵

140、c

141、≤1,又因此，对一切,都有

142、f(x)

143、≤7.例9（1998年“希望杯”高三赛题）若函数f(x)=ax2+bx+c(a